Главная > Разное > Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Характеристики спектрального представления функций. Расширенное преобразование Фурье

А. Спектры периодических и апериодических процессов.

Смысл термина "спектральная плотность процесса". О спектральном представлении процессов в общих чертах уже было сказано в гл. Сначала уточним, что имеют в виду, когда говорят о спектрах функции (далее пользуемся обозначением представляющей периодический процесс. Пусть разложение в ряд Фурье производится с применением формулы (2.19). Совокупность комплексных величин при к, изменяющихся от до образует комплексный спектр рассматриваемой функции. Каждая из зтих величин, взятая при соответствующей частоте определяется амплитудой и фазой вектора При использовании для разложения функции в ряд Фурье формулы (2.1) совокупность величин вместе с образует спектр амплитуд функции, а совокупность величин образует спектр фаз. Так как во многих случаях пользуются отдельно взятым спектром амплитуд, его часто просто называют спектром функции . В системе координат для дискретных значений спектр должен был бы изображаться рядом точек на плоскости. Так как такое его изображение неудобно, из каждой точки опускают перпендикуляр на ось со, получая на графике множество вертикальных линий. Имея в виду такое изображение спектра, его называют линейчатым спектром.

Спектральное представление апериодических функций является более сложным. Формулы интегральных преобразований Фурье (2.8) и (2.9)

были получены нами из формулы ряда Фурье при (см. с. 31). Существенно, однако, следующее. В формуле интеграла Фурье (2.8) подынтегральное выражение представляет собой бесконечно малую величину. Будем рассматривать ее как элементарное колебание с бесконечно малой амплитудой представляемое в следующем виде: Приравнивая это выражение выражению в (2.8), получаем, что

Величина пропорциональная производной от амплитуды по частоте , называется спектральной плотностью или спектральной характеристикой апериодической функции Называют ее также и комплексным спектром, а ее модуль просто спектром апериодической функции

Рассмотрим далее, как связаны между собой спектры однотипных периодических и апериодических функций. Говоря об однотипных функциях, будем иметь в виду то, что проиллюстрируем следующим примером. Пусть представляет собой апериодическую функцию в виде одного-единственного прямоугольного импульса, показанного на рис. 2.2, а. Однотипной с зтой функцией периодической функцией будем считать бесконечное множество таких же импульсов, повторяющихся с периодом как показано на рис. 2.2, б. Хотя теоретически, согласно с определением периодической функции, и считают число периодов бесконечно большим, при решении практических задач приходится иметь дело с конечным числом периодов.

Применительно к нашему примеру это будет конечное число повторяющихся импульсов. По мере уменьшения их количества линейчатый спектр, видоизменяясь, приближается к непрерывному спектру, получаемому в случае, представленном на рис.

Сравним формулы (2.9) и (2.20) комплексных спектров апериодического и периодического процессов. Обратимся, как и ранее, к указанному выше примеру, хотя равным образом можно было бы сравнить и любые другие однотипные апериодические и периодические функции

Для функции, график которой показан на рис. при и при При этом формула (2.9) принимает следующий вид:

От выражения (2.20), согласно которому для соответствующей периодической функции

выражение (2.46) при отличается только множителем Соответствующим образом связаны между собой и спектры амплитуд.

Рис. 2.2

Для в виде изображенного на рис. 2.2,а одиночного импульса находим по формуле

или, имея в виду вторую из формул (2.18),

Можно представить выражение (2.48) и в несколько другом виде:

В выражение (2.49) в качестве множителя входит отношение синуса величины к самой величине. Эта функция, обозначаемая

встретится нам и в дальнейшем. Данная функция, график которой приведен на рис. 2.2, в, является четной функцией от рассматриваемом нами случае Значение могут быть вообще как положительными, так и отрицательными. Однако для нас здесь представляют интерес лишь положительные значения При имеем график). Выясняется это при использовании правила Лопиталя для раскрытия неопределенности: так как производная от по равна а производная от по равна 1, имеем

В выражении величина постоянная для импульса данного вида, равная площади импульса. Поэтому характеристика спектральной плотности, рассчитываемая по формуле (2.49), имеет ту же форму, что и характеристика (2.50).

Заметим, что при величиной определяется площадь импульса не только для рассматриваемых нами здесь прямоугольных импульсов, но и для импульсов любой формы.

Следующее из уравнений (2.46) и (2.47) соотношение

указывает на то, что с точностью до множителя коэффициент разложения в ряд Фурье периодической функции равен спектральной плотности однотипной с ней апериодической функции. Это относится и к модулям соответствующих величин. Данный вывод формулируется применительно к импульсным сигналам следующим образом: "модуль спектральной плотности, одиночного импульса и огибающая линейчатого спектра периодической последовательности, полученной путем повторения заданного импульса, совпадают по форме и отличаются только масштабом" [36]. Сказанное выше относится ко всем при значениях к от единицы и выше и не касается того, что дает линейчатый спектр при

На рис. отдельно изображены спектры амплитуд и фаз прямоугольного импульса, на рис. показаны спектры амплитуд прямоугольного импульса и периодической последовательности однотипных прямоугольных импульсов [46]. Показанный на рис. линейчатый спектр получен для периодической последовательности импульсов, имеющих скважность

В литературе по теории передачи сигналов приведены примеры зависимости от частоты модулей спектральной плотности различных одиночных импульсов и линейчатых спектров соответствующих последовательностей импульсов. С точностью до множителя они, как уже было сказано, совпадают при

Особо остановимся на спектре дельта-функции. Для нее

При всех значениях функция Только при она не равна нулю. Учитывая это, можно рассматривать узкий интервал времени вблизи от точки и принять Вынесем этот множитель

за знак интеграла. Но по определению -функции . Поэтому для -функции

Таким образом, оказывается, что модуль спектра -функции равен единице. Эта функция имеет сплошной спектр, который простирается до бесконечно больших значений частоты Во всем диапазоне изменения со спектральная плотность -функции остается неизменной.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление