Главная > Разное > Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Г. Формулы БПФ.

Перепишем ранее указанную формулу -точечной последовательности в форме

где так называемый поворачивающий множитель

Аналогично, что одной и другой из -точечных последовательностей определяется ДПФ следующим образом:

и

где

Учитывая, что согласно (3.67) и (3.70)

приводим выражения и к виду

Дальнейшие выводы сделаем раздельно для БПФ с прореживанием по времени и для БПФ с прореживанием по частоте.

Сначала рассмотрим БПФ с прореживанием по времени. Формулу (3.66) перепишем, разделяя отсчеты при четных и при нечетных и:

Учитывая выражения (3.72), (3.73), (3.62), (3.63), преобразуем эту формулу так:

Формула (3.75) является основной формулой, используемой при выполнении БПФ с прореживанием по времени. Однако она позволяет определить только для значений к от до Для нахождения же при она преобразуется так, как показывается ниже, причем принимаются во внимание следующие соображения. при периодически соответственно повторяют определенные для Это вытекает из того, что в выражениях (3.68) и от к не зависят, является периодической по к последовательностью с периодом (см. п. 1 второй части раздела Д). Поэтому формула (3.75) может быть представлена и в такой записи:

Формула (3.76) дополняет формулу (3.75).

Так как (см. п. 2 второй части раздела Д)

то можно представить формулу (3.76) и в следующем виде:

Для всех рассматриваемых значений к показано, как зависит -чечной последовательности отсчетов от ДПФ одной и другой -точечных последовательностей, полученных в результате прореживания по времени.

Вьюедем далее формулы, лежащие в основе алгоритма БПФ с прореживанием по частоте. Имея в виду используемый в зтом случае описанный в разделе В способ разделения -точечной последовательности отсчетов на части, представим формулу (3.66) так:

Принимая во внимание соотношения (3.64) и (3.65), имеем

Рассмотрим отдельно выражения (3.77) для четных к и для нечетных к, вводя в (3.77) вместо обозначения к соответственно обозначения (это и есть прореживание по частоте, аналогичное описанному ранее прореживанию по времени). При зтом получим

Производя перегруппировку слагаемых в правой части каждого из зтих выражений, учитывая, что (см. п. 3 второй части раздела Д), придем к следующим уравнениям БПФ с прореживанием

по частоте:

Возможна и другая запись этих уравнений с учетом того, что

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление