Главная > Разное > Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Г. Представления процессов, промежуточные между пространственно-временным и спектрально-частотным, текущий спектр, мгновенный спектр.

Из того, что было сказано в § 1 гл. I, и из последующего изложения следует, что пространственно-временное и спектрально-частотное представления процессов существенно различны. Несмотря на это, иногда оказывается нужным вводить в рассмотрение и использовать промежуточные формы представления процессов. Это связано с тем, что для выполнения определяемого формулой (2.9) преобразования Фурье нужно производить интегрирование, имея в виду изменение времени в пределах от до На практике же часто возникает необходимость в получении спектральных характеристик процессов, время протекания которых ограничено. Более того, в некоторых случаях вообще возможно наблюдение лишь коротких интервалов времени. Это привело к необходимости введения в рассмотрение спектров, которые, следуя принятой в книге [131] терминологии, назовем текущим спектром и мгновенным спектром.

Текущий спектр процесса определяется следующим образом:

Здесь текущий момент времени.

Практически часто оказывается возможным рассмотрение характеристик исследуемого процесса лишь после некоторого момента времени, который считается начальным и для которого принимается обозначение При этом текущий спектр процесса приобретает следующий вид:

Наглядное представление о свойствах текущего спектра дают примеры его использования для процессов, которые повторяются через следующие друг за другом периоды времени, но не являются периодическими в том смысле, в каком мы раньше о них говорили, так как число периодов не является неограниченно большим. Показанные на рис. 2.3 спектры функции при числе периодов могут рассматриваться, если связать количество следующих друг за другом периодов с течением времени, как текущий спектр соответствующей функции.

Еще более образное проставление о текущем спектре дает пример, приведенный в книге А.А. Харкевича [131]: на рис. 2.16, а изображен текущий спектр синусоиды которая при неограниченном ее повторении дает одну-единственную линию линейчатого спектра на частоте На рис. 2-16,а по оси абсцисс в основной плоскости рисунка отложено отношение частот по оси ординат отложены величины по третьей из показанных на рисунке осей отложено число и полупериодов, пропорциональное времени. При построении графика рассматривались значения спектральной плотности в дискретные моменты времени Говоря о свойствах текущего спектра, А.А. Харкевич указывает следующее: "Спектр короткого отрезка процесса — за небольшое время от его начала однороден, так как короткий отрезок любого процесса есть просто короткий импульс. Если в дальнейшем происходит периодическое повторение некоторого цикла явления, то на текущем спектре начинают сформировываться максимумы на основной частоте и ее гармониках. Эти максимумы становятся все более острыми и высокими, а значение спектральной плотности в интервалах между максимумами все убывает и — лишь в пределе при сплошной текущий спектр вырождается в линейчатый спектр периодического в строгом смысле процесса". Здесь по существу тоже идет речь о сравнительном представлении спектров апериодических и периодических процессов. Мы уже касались этого вопроса в § 3.

Рис. 2.16

При записи выражений (2.128) и (2.129) время считалось фиксированным.

Мгновенный же спектр определяется как функция частоты и времени следующим образом:

Интегрирование выполняется в пределах от момента времени, на величину предшествующего текущему моменту времени и до этого последнего момента. Рассматривая величину как переменную, говорят, что мгновенный спектр является скользящим спектром.

Мгновенный спектр определяется также более общим, чем (2.130), выражением

где связанная с текущим временем функция окна. При определении последней в соответствии с рис. выражение (2.131) сводится к выражению (2.130). Вообще же используются функции окна различного вида, чему отвечают текущие спектры различной формы.

Мгновенный спектр может быть представлен как разность двух текущих спектров. Действительно,

Спектры этого вида называются также кратковременными спектрами.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление