Главная > Разное > Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Применения преобразований Фурье и Лапласа при разработке и исследовании систем управления и связи

А. Физическая интерпретация преобразований Фурье. Частотные характеристики.

В первых трех разделах § 4 рассмотрим применения интегральных преобразований Фурье при исследовании линейных систем управления. Для физического объекта (показанные на рис. 1.1, а элемент системы или вся система управления) прямое интегральное преобразование Фурье определяется как отношение спектральных плотностей выходной величины дсвых и входного воздействия Оно является комплексной величиной и при данном значении частоты изображается на комплексной плоскости так, как было показано на рис. 2.1, е. В этом разделе будем считать, что и - соответственно модуль и сдвиг по фазе указанной комплексной величины. Имея в виду и другие значения частоты будем для них также определять

Способы расчета были описаны в § 2. Экспериментальным путем находятся следующим образом. Для объекта, схематически показанного на рис. 1.1, а, входное воздействие изменяется с частотой со и заданной амплитудой по гармоническому закону

(задаются косинусоидальные или синусоидальные колебания). Измеряются амплитуда Лвых колебаний выходной величины и сдвиг по фазе выходных колебаний относительно входных колебаний. Испытание проводится при каком-либо одном значении частоты например при затем при ряде других значений частоты. Каждый раз величина определяется как и по смещению выходных колебаний относительно входных колебаний находится Векторы полученные при различных значениях частоты изображаются так же, как это было показано для вектора на рис. 2.1, е. Соединяя концы векторов определенных будь то путем расчета или экспериментально, получают характеристику, называемую амплитудно-фазовой частотной характеристикой или, сокращенно, АФЧХ. Название это отражает то, что указанная характеристика дает представление о зависимости отношения амплитуд выходных и входных колебаний и сдвига между ними по фазе от частоты колебаний. Для линейного элемента или для линейной системы получается одна и та же амплитудно-фазовая частотная характеристика при различных

Рассмотрим какой-либо из элементов системы автоматического управления. Пусть, например, это будет изображенный на рис. 2.4, с механический элемент или показанный на рис. 2.4,б электрический контур. Проследим тем, как с изменением частоты меняется при гармонических колебаниях

Для первого из рассматриваемых примеров приняты следующие обозначения: представляет собой положение левого конца пружины, ахвых — положение бруска, имеющего определенную массу и отделенного от

Рис. 2.4

направляющей поверхности слоем смазки. Если иметь в виду второй пример, то и это входное и выходное напряжения. Иногда считают, что являются отклонениями указанных величин от некоторых их начальных значений.

В обоих случаях, иллюстрируемых рис. 2.4, а и 2.4, б, элементы при соответствующем их построении имеют одинаковые АФЧХ. Вид такой АФЧХ показан на рис. Наглядное представление об особенностях АФЧХ можно получить, рассматривая первый пример и имея в виду физические явления, которыми определяется движение бруска. При малой частоте колебаний брусок повторяет движения левого конца пружины, и в пределе при со имеем С увеличением со изменяется величина и меняется Это обусловлено тем, что, кроме движущей силы, к бруску приложены сила вязкого трения и сила инерции. Наконец, при достаточно большой частоте колебаний брусок, являющийся инерционным телом, не успевает следить за перемещениями левого конца пружины и остается неподвижным. Если со то Такие же рассуждения можно было бы провести, рассматривая и второй пример, а также примеры, относящиеся к механическим, электрическим и иным элементам, имеющим АФЧХ указанного вида.

По виду АФЧХ элементы систем управления относятся к различным типам элементов. Если у рассмотренного нами бруска масса небольшая и при всех значениях со сила инерции пренебрежимо мала по сравнению с движущей силой и силой вязкого трения, то получается уже АФЧХ другого вида. Такую же по виду АФЧХ имеет и показанный на рис. электрический элемент, являющийся частью элемента, изображенного на рис. Эта АФЧХ приведена на рис. Применяются также элементы, имеющие АФЧХ иного вида.

АФЧХ дает представление об изменении во всем диапазоне частот а следовательно, и спектральной плотности . В некоторых учебниках по теории автоматического регулирования отождествляются понятия АФЧХ и преобразования Фурье (см., например, с. 200 в книге [86]). Об этом мы уже упоминали, говоря в гл. I о принятой терминологии.

АФЧХ элемента или системы связана со спектральной плотностью соответствующего входного воздействия и спектральной плотности соответствующей выходной величины следующим соотношением:

Имея амплитудно-фазовую частотную характеристику, можно построить и другие, применяемые в теории автоматического управления частотные характеристики. Используя ось абсцисс как ось со и отмечая на ней значения частоты, а на оси ординат — отвечающие им значения , соединяя между собой определяемые этими координатами точки, получим так называемую амплитудную частотную характеристику. Тоже откладывая по оси абсцисс частоты а по оси ординат — углы сдвига по фазе, получим фазовую частотную характеристику. Характеристика изменения в зависимости от со величины проекции вектора на ось

цисс известна как вещественная частотная характеристика, а характеристику изменения в зависимости от со величины проекции вектора на ось ординат называют мнимой частотной характеристикой. Последние названия станут ясными, если вспомнить сказанное об изображении спектральной плотности на комплексной плоскости, когда рассматривался рис.

Из уравнения (2.74) следует, что при данной величина зависит от Оставляя дальше обозначения для вещественной и мнимой характеристик, соответствующих введем для вещественной и мнимой характеристик, отвечающих спектральной плотности обозначения

Так же, как и для отдельных элементов, определяются опытным путем АФЧХ и другие указанные выше частотные характеристики для всей системы управления. Расчетные АФЧХ получают для всей системы, как было оговорено, используя преобразование Фурье. Для некоторых систем управления простым способом может быть построен график АФЧХ, если известны АФЧХ всех элементов системы. В системе управления может быть целый ряд соединенных между собой элементов, различаемых по виду их АФЧХ. Имея в виду такое разделение элементов, говорят о типовых звеньях системы. Например, элементы, имеющие АФЧХ такого вида, как показанная на рис. 2.4,в, относятся к одному типу звеньев, а имеющие АФЧХ такого вида, как показанная на рис. к другому типу звеньев.

Вместо иллюстрируемого рис. 1.1,а обобщенного представления системы управления, изображая эту систему, учтем наличие в ней отдельных элементов.

Рис. 2.5

Пусть, например, имеются три показанных на рис. 2.5 элемента, одним из которых является объект управления, а двумя другими - элементы управляющего устройства. Различны свойства разомкнутой (рис. 2.5, а) и снабженной линией обратной связи замкнутой (рис. 2.5,б) систем управления.

К вопросам расчета АФЧХ и соответственно других частотных характеристик разомкнутых и замкнутых систем управления вернемся позднее. Пока же покажем лишь, как может быть построена АФЧХ разомкнутой системы, если известны АФЧХ отдельных ее элементов. При построении

модуль. вектора для точки АФЧХ системы при значении со, частоты находится как произведение модулей векторов для точек АФЧХ всех элементов при Угол сдвига по фазе у определяется при построении вектора АФЧХ системы как сумма углов сдвига по фазе указанных векторов. Таким же образом определяются точки АФЧХ системы при ряде других значений со. Через эти точки проводится линия, являющаяся АФЧХ системы. Описанное построение иллюстрируется рис. 2.5, в. В верхней части рисунка показаны АФЧХ элементов 1, 2 и 3, в нижней части рисунка представлена АФЧХ системы.

В ряде случаев оказывается полезным то, что АФЧХ системы может быть построена с использованием АФЧХ элементов, некоторые которых получены опытным путем, а другие являются расчетными. Например, перед проектированием системы управления могут быть проведены испытания объекта управления, расчет АФЧХ которого затруднителен. Элементы же управляющего устройства при этом еще не построены и могут быть использованы только расчетные их АФЧХ.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление