Главная > Гидродинамика > Механика жидкости и газа
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 63. Функция тока и ее связь с векторным потенциалом скоростей. Функции тока простейших течений

Согласно (10) § 60 уравнение несжимаемости жидкости будет иметь вид

Предположим, что одна из составляющих скоростей движения, например V повсюду равна нулю; тогда предыдущее уравнение сведется к более простому:

В этом случае можно утверждать существование такой величины что будет выполняться система равенств:

или:

Такого рода величина через которую могут быть выражены две неизвестные проекции скорости на оси криволинейных координат, называется функцией тока.

Потенциал скоростей связан с функцией тока, если она существует, следующими соотношениями:

которые легко получить, приравняв проекции скорости выраженные через согласно (13) и (9), и через согласно (34).

Простейшим примером существования функции тока служит плоское движение несжимаемой жидкости.

Рассмотрим осесимметричное относительно оси движение несжимаемой жидкости, протекающее в меридиональных плоскостях, проходящих через ось При таком движении существуют все декартовы проекции скорости и все они зависят от трех координат х, у, z, так что из уравнения несжимаемости

не следует существования функции тока. Между тем, если условиться исследовать указанное осесимметричное движение в цилиндрической или сферической системе координат, то, написав, согласно формулам, помещенным в конце § 60, уравнения несжимаемости в одном из следующих видов:

и заметив, что, в силу сделанного предположения о меридиональности движения, члены с пропадут, будем иметь следующие выражения проекций скорости через функцию тока: а) в цилиндрической системе координат:

б) в сферической системе координат:

Введенная уравнениями (34) или (34) функция тока обладает свойствами, аналогичными функции тока в плоском движении.

Замечая, что:

по (34) найдем:

Следовательно, вдоль линии тока

В случае ранее рассмотренного осесимметричного движения жидкости по меридиональным плоскостям равенства представят некоторые поверхности, которые можно было бы образовать вращением линий тока вокруг оси Эти поверхности называют поверхностями тока-, на самой оси можно положить тогда значения будут определять объемный расход жидкости через любое ортогональное к оси сечение трубки тока, ограниченной данной поверхностью тока.

Функцию тока можно рассматривать как одну из составляющих векторного потенциала А скоростей, связанного с вектором скорости равенством (24). Действительно, согласно этому равенству и формулам (11) имеем:

Выбирая вектор А перпендикулярным во всем пространстве координатным поверхностям будем иметь:

положив а коэффициенты Ляме и величину не зависящими от получим формулы (34). Так, например, в сферической или цилиндрической системах координат вектор А должен быть направлен по касательной к параллельным кругам, соответствующим изменению одного и не зависеть от

Найдем функцию тока в случае нескольких ранее рассмотренных простейших движений. Для этого используем формулы (36) и (37).

1°. Однородный прямолинейный поток со скоростью V, параллельной оси

В цилиндрической системе координат имеем:

следовательно:

В сферической системе координат:

Простое интегрирование этой системы уравнений в полных дифференциалах дает:

2°. Источник (сток) дает простое выражение для функции тока в сферической системе координат. Имеем:

откуда нетрудно получить

или, подбирая константу из условия при

3°. Диполь. Используя выражение потенциала скоростей (18), будем иметь по (37) систему уравнений:

откуда следует:

Легко найти иитеграл этой системы, обращающийся в нуль при :

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление