Главная > Гидродинамика > Механика жидкости и газа
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА VI. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА

§ 50. Основные уравнения плоского стационарного безвихревого движения сжимаемого газа. Линеаризированные уравнения

Общие уравнения изэнтропического плоского стационарного безвихревого движения идеального сжимаемого газа при отсутствии объемных сил и отвода тепла, согласно изложенному в гл. III, можно свести к интегралу Бернулли:

уравнению неразрывности:

и уравнению изэнтропы:

к этим уравнениям присоединяется еще уравнение отсутствия вихря:

Перепишем уравнение неразрывности (2) в виде:

и произведем в этом равенстве замену:

или по (1):

Тогда уравнение (2) после простых преобразований сведется к такому:

В этом уравнении две неизвестных функции могут быть сведены к одной — потенциалу скоростей так как, согласно (4), будем, очевидно, иметь:

Что касается величины то связь ее со скоростью газа V в данном месте определяется интегралом Бернулли

так что

Уравнение (5) представляет сложное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных относительно неизвестной функции , вопрос об интегрируемости которого при заданных граничных условиях представляет непреодолимые трудности. Как это уже было сделано в гл. IV при рассмотрении одномерного нестационарного движения, попытаемся линеаризировать уравнение (5). сделав предположение, что в рассматриваемом движении поле скоростей, плотностей, давлений и др. мало отличается от некоторого однородного движения со скоростью плотностью давлением

Выбирая ось х параллельной этому однородному потоку, будем иметь:

где величины так же как и их производные по координатам, считаются настолько малыми, что можно пренебрегать их квадратами и произведениями.

В этом предположении будем иметь вместо (5) следующее линейное уравнение:

которое, после введения числа перепишется так:

Разбивая потенциал скоростей о на потенциал однородного потока и малый потенциал возмущений, будем иметь:

после чего уравнение (8) приведется к виду:

Из уравнения неразрывности (2) следует, что существует такая функция по аналогии с несжимаемым потоком называемая функцией тока, что

В условиях принимаемой линеаризации уравнений движения сжимаемого газа разобьем функцию тока аналогично (9), на функцию тока однородного потока и функцию тока возмущений, соответствующую отклонению действительного потока от однородного, положив

тогда, согласно будем иметь:

или, откидывая малые второго порядка:

Освободимся в первом из этих равенств от выразив его через добавочную скорость и, согласно формуле Бернулли, переписанной, в силу уравнения изэнтропы, в виде:

Будем иметь, задавая константу на бесконечности,

или

Исключая из этого равенства — и подставляя в (13), найдем:

Если последние выражения подставить в условие отсутствия завихренности (4), то получим уравнение относительно

аналогичное уравнению (10) относительно добавочного потенциала

Уравнения (10) и (15) представляют линеаризированные уравнения плоского безвихревого движения сжимаемого газа; их следует решать при обычных граничных условиях для скорости на бесконечности и на поверхности обтекаемого тела (условие непроницаемости). Покажем ход решения линеаризированных уравнений на простейших примерах.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление