Главная > Математика > Последовательный анализ
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3.7. Нижняя граница вероятности того, что последовательный критерий окончится при числе наблюдений, меньшем или равном заданному числу

В приложении П. 6 выведена приближенная формула. Для закона распределения числа наблюдений, необходимых в последовательном критерии, когда величина

нормально распределена. Там же подчеркивается, что тот же закон распределения величины можно рассматривать как приближение для точного закона распределения в случае, когда распределение величины отлично от нормального, если только абсолютное значение величины и стандартное отклонение величины достаточно малы по сравнению с Хотя распределение величины данное в приложении П. 6, и может быть использовано для определения вероятности того, что при любом фиксированном целом числе мы предпочтем вывод нижней границы для этой вероятности иным методом по следующим причинам: 1) вычисление нижней границы, данное в настоящем параграфе, является очень простым, в то время как использование функции распределения, приведенной в приложении П. 6, требует трудоемких вычислений, так как эта функция распределения еще не табулирована; 2) если достаточно велико и если являются малыми, как это бывает на практике, то нижняя граница, данная в настоящем параграфе, достаточно близка к точному значению.

Пусть для любого заданного положительного целого числа означает вероятность того, что когда справедлива т. е. когда Мы хотим вывести нижнюю границу для вероятности Предположим, что настолько велико, что сумму можно считать распределенной по нормальному закону, даже если закон распределения отличен от нормального.

Если то получаем Таким же образом, если то Следовательно,

и

Неравенство может быть записано в виде

где означает стандартное отклонение величины когда справедлива Левая часть выражения (3.76) при нормально распределена с нулевым средним значением и единичной дисперсией. Обозначим через вероятность того, что нормально распределенная случайная величина с нулевым средним значением и единичной дисперсией примет значение, меньшее Таким образом, вероятность того, что случайная величина примет значение равна Следовательно, вероятность того, что (3.76) выполняется, когда справедлива равна где

Вероятность того, что (3.76) выполняется, когда справедлива равна Таким образом,

Из (3.74) получаем

Таким образом, является нижней границей вероятности того, что когда справедлива гипотеза

Для получения нижней границы величины перепишем неравенство В в виде

стандартное отклонение величины когда справедлива Так как член в левой части неравенства при распределен по нормальному закону с нулевым средним значением и единичной дисперсией, то вероятность того, что выражение (3.79) выполняется, когда справедлива равна Следовательно,

В соответствии с выражением (3.75) получаем

Таким образом, является нижней границей вероятности того, что когда справедлива гипотеза

В табл. 2 приведены значения нижних границ величин соответствующих различным парам и различным величинам при условии, что и Расчете предполагалось, что распределение при является нормальным с нулевым средним значением и единичной дисперсией, а распределение при также нормальное со средним и единичной дисперсией. Для каждой пары значение определялось из выражения (3.67) таким образом, чтобы число наблюдений, необходимых в наиболее мощном обычном критерии силы было равно 1000,

Таблица 2 (см. скан) Нижняя граница вероятности того, что последовательный анализ окончится в пределах различного числа наблюдений, в то время как наиболее мощный обычный критерий требует ровно 1000 наблюдений

Приведенные в таблице вероятности являются нижними границами истинных вероятностей. Они относятся к случаю проверки среднего значения нормально распределенной случайной величины, причем различие между нулевой и конкурирующей гипотезами регулировалось для каждой пары таким образом, чтобы число испытаний, необходимых для наиболее мощного обычного критерия, точно равнялось 1000.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление