Главная > Математика > Последовательный анализ
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.3.2. Общая методика проверки статистических гипотез.

Обозначим через количество наблюдений, на основе которых принимается или отвергается некоторая гипотеза, подлежащая проверке. Любой возможный исход последовательных наблюдений образует выборку объемом Методика проверки, приводящей к принятию или отклонению проверяемой гипотезы, заключается просто в некотором правиле, определяющем на основании каждой возможной выборки объема следует ли принять или отвергнуть данную гипотезу.

Эту мысль можно также выразить следующим образом: методика проверки заключается в подразделении множества всех возможных выборок объема на два непересекающихся подмножества (скажем, подмножество 1 и подмножество 2) и в применении следующего правила: проверяемая гипотеза должна быть отвергнута, если наблюденная выборка попадает в подмножество 1, и должна быть принята, если наблюденная выборка принадлежит подмножеству 2. Подмножество 1 называют также критической областью. Поскольку подмножество 2 состоит из всех тех выборок объема которые не вошли в подмножество 1, то подмножество 2

однозначно определяется заданием подмножества 1. Таким образом, выбор той или иной методики проверки эквивалентен выбору критической области.

В качестве иллюстрации рассмотрим несколько примеров. Предположим, что партия товара, состоящая из промышленных изделий, подвергается приемочному контролю. Будем считать, что каждое изделие можно отнести к одной из двух категорий: либо оно дефектно, либо недефектно. Относительное количество дефектных изделий в проверяемой партии считается неизвестным. Обозначим через такую величину, лежащую между нулем и единицей, что считается целесообразным принять партию товара, если относительное количество дефектных изделий меньше или равно этой величине. В противном случае, т. е. когда мы предпочитаем забраковать партию. Предположим, что проверяется выборка из изделий, случайным образом выбранная из рассматриваемой партии, и по результатам этой проверки выносится решение о принятии или отклонении гипотезы Критическую область, обычно используемую в подобных случаях, можно определить следующим образом: гипотеза отвергается, т. е. партия товара бракуется, в том (и только в том) случае, если относительное количество дефектных изделий в выборке из изделий превысит соответствующим образом выбранную постоянную величину с.

Второй пример. Предположим, что мы производим измерение длины стержня при помощи инструмента, ошибка измерения которого распределена по нормальному закону с единичной дисперсией, так что результат х нашего измерения является нормально распределенной случайной величиной со средним значением равным истинной длине стержня, и с дисперсией, равной единице. Допустим, что мы проверяем гипотезу о том, что истинная длина стержня равна некоторой заданной величине Эта гипотеза должна быть проверена на основе выборки, состоящей из независимых измерений длины стержня. Критическая область, обычно используемая в подобных случаях, определяется следующим образом: гипотеза о том, что отвергается тогда (и только тогда), когда наблюденная выборка такова, что где среднее арифметическое значение наблюдений, с — соответствующим образом выбранная постоянная.

Вообще говоря, существует бесконечное количество способов выбора критической области. Так, в последнем примере

мы могли бы использовать не среднее арифметическое значение наблюдений, а медиану, среднее геометрическое, среднее гармоническое или некоторое другое среднее значение наблюдений.

Очевидно, что различным образом выбранные критические области не могут приводить к одинаково хорошим результатам. Поэтому основная проблема, связанная с проверкой статистических гипотез, заключается в установлении некоторых принципов для соответствующего выбора критической области. Такие принципы были выдвинуты Нейманом и Пирсоном. В следующем пункте мы кратко обсудим основную идею теории Неймана — Пирсона.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление