Главная > Математика > Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 91. Методы вычисления установившихся систематических ошибок стационарных линейных систем

Применим изложенный в предыдущем параграфе метод определения математических ожиданий выходных переменных линейных систем к определению установившихся значений систематических ошибок (т. е. математических ожиданий выходных переменных) стационарных линейных систем. Для определения установившейся систематической ошибки одномерной линейной системы следует положить в формуле Тогда, принимая во внимание, что весовая функция стационарной линейной системы зависит только от разности ее аргументов и не зависит от них по отдельности, получим:

или, разлагая функцию в ряд Тейлора,

Для вычисления интегралов в этой формуле воспользуемся формулой (87.4), которая в случае одномерной стационарной линейной системы принимает вид:

Дифференцируя эту формулу по X, получаем:

и вообще

Полагая здесь найдем:

На основании (91.6) формула (91.2) может быть написана в виде:

Совершенно аналогично для установившихся значений систематических ошибок многомерной стационарной линейной системы получим формулу

Заметим, что формулы (91.7) и (91.8) справедливы, строго говоря, только в том случае, когда функции при данном значении разлагаются в степенные ряды относительно сходящиеся при всех значениях Это обстоятельство приводит к тому, что формулы (91.7) и (91.8) могут дать достаточную точность практически только в том случае, когда функции являются полиномами относительно Практическим критерием точности формул (91.7) и (91.8) может служить устойчивость результатов вычисления по этим формулам при аппроксимации функций полиномами различной степени. В случае неустойчивости результатов вычислений формулами (91.7) и (91.8) пользоваться нельзя.

Второй возможный метод вычисления установившихся значений систематических ошибок стационарной линейной системы основан на использовании ее передаточной функции. Представив математическое ожидание случайного возмущения, действующего на одномерную стационарную линейную систему, формулой

где действительные постоянные, получим для математического ожидания выходной переменной на основании принципа суперпозиции формулу

Аналогично, выразив математические ожидания случайных возмущений, действующих на многомерную линейную систему, формулой

получим для математических ожиданий выходных переменных системы формулу

Необходимые для вычисления по формулам (91.10) и (91.12) значения передаточных функций на прямых параллельных мнимой оси плоскости параметра X, можно определить обычным методом логарифмических частотных характеристик [34].

Пример. Найти математическое ожидание выходной переменной -фильтра с постоянной времени

Передаточная функция фильтра определяется формулой

Дифференцируя эту формулу, находим:

откуда

Подставляя это выражение в (91.7), получим:

В частном случае, когда

формула (91.16) принимает вид:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление