Главная > Математика > Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 73. Стационарная векторная случайная функция

Векторная случайная функция, составляющими которой являются стационарные случайные функции называется стационарной в широком смысле, если не только корреляционные функции случайных функций но и все их взаимные корреляционные

функции являются функциями разности аргументов

где

Векторная случайная функция называется стационарной в узком смысле, если при любом все -мерные законы распределения ее составляющих зависят только от интервалов и не зависят от положения этих интервалов в области изменения аргумента Эти определения показывают, что для стационарности векторной случайной функции недостаточно, чтобы были стационарными (в соответствующем смысле) все ее составляющие. Необходимо, чтобы они были еще стационарно связанными.

Свойство (69.6) корреляционной функции векторной случайной функции принимает для стационарной векторной случайной функции вид:

Для действительной стационарной векторной случайной функции эта формула принимает вид:

Это означает, что кривая, изображающая функцию представляет собой зеркальное отражение кривой, изображающей функцию относительно оси опдинат (рис. 30).

Рис. 30.

Свойство (69.7) корреляционной функции векторной случайной функции дает для стационарной векторной случайной функции неравенство:

В частном случае, при формулы (73.3), (73.4) и (73.5) обращаются в (72.6), (72.7) (72.8) соответственно.

Пример 1. Рассмотрим векторную случайную функцию, составляющими которой являются случайные функции:

где — некоррелированные случайные величины с равными нулю математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями, равными Эта векторная случайная функция стационарна (в широком смысле), так как корреляционные функции ее составляющих выражаются формулой (72.15), а их взаимная корреляционная функция согласно (70.3) равна:

и, следовательно, зависит только от разности аргументов Пример 2. Векторная случайная функция с составляющими

стационарна, если случайные величины не коррелированы, имеют равные нулю математические ожидания, а их дисперсии определяются формулой (72.24), так как корреляционные функции случайных функций в этом случае определяются формулой (72.25), а их взаимная корреляционная функция на основании (70.3) равна:

и, следовательно, тоже зависит только от разности аргументов

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление