Главная > Математика > Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 64. Некоторые способы построения канонического разложения корреляционной функции

Изложенное в предыдущем параграфе показывает, что для построения канонического разложения случайной функции достаточно найти какое-либо каноническое разложение ее корреляционной функции. Поэтому представляют интерес практические способы построения канонического разложения корреляционной функции. Мы изложим здесь два способа построения канонического разложения корреляционной функции.

Зададим произвольную последовательность значений аргумента и определим функцию:

Эта функция при обращается в нуль тождественно относительно а при обращается в нуль тождественно относительно Если аргумент случайной функции представляет собой скалярную переменную, то это означает, что функция обращается в нуль на прямой параллельной оси У, и на прямой параллельной оси (рис. 27). Определим далее функцию

Рис. 27.

Эта функция, как нетрудно видеть, обращается в нуль тождественно относительно при и при кроме того, обращается в нуль тождественно относительно при и при . В случае скалярного аргумента это означает, что функция обращается в нуль на прямых параллельных оси и на прямых параллельных оси Продолжая таким образом, мы определим функции

Функция обращается в нуль тождественно относительно при кроме того, обращается в нуль тождественно относительно при т. е. в случае скалярного аргумента на прямых параллельных оси и на прямых параллельных оси Суммируя равенство (64.1) и равенства (64.3), соответствующие получим формулу

Если пренебречь в этой формуле последним членом, то полученное приближенное равенство будет точным при при

любом и при при любом t, т. е. в случае скалярного аргумента на прямых Увеличивая неограниченно мы получим разложение корреляционной функции, точно представляющее ее на произвольной прямоугольной сетке прямых Это разложение будет каноническим, так как, полагая в формуле и

приведем формулу (64.4) к виду (63.1).

Формула (57.11) для остаточного члена канонического разложения показывает, что каноническое разложение случайной функции X, соответствующее каноническому разложению (64.4) ее корреляционной функции, точно представляет случайную функцию X во всех точках Легко видеть, что это каноническое разложение совпадает с каноническим разложением § 59.

Другой способ построения канонического разложения корреляционной функции основан на разложении ее в двойной ряд Фурье. Мы изложим этот способ для случая скалярного аргумента а потом покажем, как он обобщается на случай произвольного векторного аргумента Разложив корреляционную функцию в квадрате в двойной ряд Фурье, получим:

Переставляя здесь аргументы и переходя к комплексной сопряженной величине, будем иметь:

Сравнивая равенства (64.6) и (64.7) и принимая во внимание, что вследствие симметрии корреляционной функции левые части этих равенств совпадают, приходим к заключению, что коэффициенты ряда (64.6) удовлетворяют условию

Это дает основание попытаться представить коэффициенты а формулой

где действительные величины. Это можно сделать бесчисленным множеством способов. Мы покажем дальше, как это можно сделать, а сейчас, предполагая, что мы уже умеем представить коэффициенты в виде (64.9), подставим выражение (64.9) в формулу (64.6). Тогда, меняя порядок суммирования, получим:

Полагая

приведем формулу (64.10) к виду (63.1). Следовательно, разложение (64.10) корреляционной функции является каноническим. При этом величины обязательно получатся все положительными, так как они являются дисперсиями случайных коэффициентов соответствующего канонического разложения случайной функции

Покажем теперь, как можно представить коэффициенты двойного ряда Фурье корреляционной функции в виде (64.9), ограничиваясь для простоты случаем, когда корреляционная функция действительна, что всегда и бывает на практике. В этом случае члены ряда (64.6) должны быть попарно комплексными сопряженными и, следовательно,

Вследствие равенств (64.8) и (64.12) в случае действительной корреляционной функции достаточно представить формулой (64.9) коэффициенты а которых второй индекс положителен и не превосходит абсолютной величины первого индекса, а также коэффициенты с неотрицательным первым индексом. Положим:

Отсюда определяются коэффициенты с положительным нижним индексом. Вследствие (64.12) при коэффициенты с с отрицательным нижним индексом будут комплексными сопряженными с соответствующими коэффициентами № с положительными нижними индексами. Положим, далее:

Первое из атих равенств определяет величину после чего из второго равенства определяются коэффициенты с. Предполагая, что таким образом определены величины

положим:

Первое из этих равенств определяет величину после чего второе дает коэффициенты Таким образом последовательно могут быть определены все величины

Изложенное показывает, что коэффициенты могут быть представлены формулой (64.9) бесчисленным множеством способов, так как нам удалось задать часть коэффициентов произвольно, а именно положить при Принимая для этих величин другие произвольные значения, мы бы получили другие значения величин с в формуле (64.9). Заметим, что изложенный способ представления коэффициентов формулой (64.9) без принципиальных изменений можно применить и в случае комплексной корреляционной функции.

Изложенный способ полностью применим и в том случае, когда аргумент является -мерным вектором с составляющими . В этом случае и также следует считать -мерными векторами с составляющими соответственно, а произведения и следует понимать как скалярные произведения векторов:

где

при изменении в интервале Суммы в этом случае следует понимать как -кратные суммы по и по соответственно. Таким образом, формула (64.6) представляет в. данном случае разложение корреляционной функции в -кратный ряд Фурье.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление