Главная > Математика > Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Теорема сложения частот. Принцип сложения вероятностей

Событие А называется суммой событий если оно состоит в появлении хотя бы одного из событий Например, если событием является попадание случайной точки в область на рис. 2, а событием попадание в область

то попадание в область, обведенную жирной линией, будет суммой событий

Событие А называется произведением или пересечением событий если оно состоит в появлении всех событий В предыдущем примере произведением событий будет попадание случайной точки в общую часть областей заштрихованную на рис. 2.

Два события называются несовместными в данном опыте, если в результате данного опыта они не могут появиться совместно. Например, попадание и промах при одном выстреле являются несовместными событиями. Одни и те же события могут быть и совместными и несовместными в зависимости от условий опыта. Так, например, попадание и промах при одном выстреле несовместны. Если же опыт включает несколько выстрелов, то попадание и промах совместны. Поэтому утверждение, что некоторые события совместны или, наоборот, несовместны, всегда должно сопровождаться указанием, какой имеется в виду опыт.

Рис. 2.

События называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе в результате данного опыта. Очевидно, что произведение несовместных событий есть невозможное событие.

Допустим, что при повторении некоторого опыта раз два несовместных события появились соответственно та и раз. Очевидно, что число появлений их суммы В равно Частоты событий В будут равны соответственно

Таким образом, частота суммы несовместных событий равна сумме частот этих событий. В этом состоит теорема сложения частот, которая, очевидно, справедлива для любого количества несовместных событий.

На основании приведенного в предыдущем параграфе определения вероятности события естественно предположить, что вероятности обладают теми же свойствами, что и частоты. Поэтому для вероятностей событий обычно принимают следующий принцип сложения вероятностей: вероятность суммы любого количества (конечного или бесконечного) несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Группа событий называется полной, если в результате опыта обязательно появляется хотя бы одно из них. Очевидно, что сумма событий, образующих полную группу, есть достоверное событие.

На основании сформулированного выше принципа сложения вероятностей сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу, равна единице:

если

Два несовместных события, образующих полную группу, обычно называются противоположными. Примером противоположных событий являются попадание и промах при одном выстреле. Событие, противоположное событию обозначается через А. На основании общего равенства (3.2) сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Равенство (3.3) легко позволяет находить одну из вероятностей если известна другая. Этим обстоятельством часто пользуются при вычислении вероятностей, так как вероятность события, противоположного данному событию иногда бывает значительно проще вычислить, чем вероятность данного события А.

Пример. Пусть опыт состоит в том, что производится один выстрел по мишени, разделенной на зоны, как показано на рис. 3. Тогда попадания в разлйчные зоны являются несовместными событиями. Если вероятность попадания в зону А равна 0,25, вероятность попадания в зону В равна 0,32, а вероятность попадания в зону С равна 0,17, то вероятность попадания в мишень будет равна

Рис. 3.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление