Главная > Математика > Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

§ 25. Характеристическая функция скалярной случайной величины

Характеристической функцией действительной скалярной случайной величины X называется математическое ожидание функции рассматриваемое как функция переменной X:

Согласно определению математического ожидания произвольной функции случайной величины (10.3) для вычисления характеристической функции получаем формулу

Характеристические функции обладают рядом свойств, которые позволяют значительно упростить решение многих задач теории вероятностей.

Легко видеть, что характеристическая функция любой случайной величины при всех действительных значениях X непрерывна и не превосходит по модулю единицу. Это следует непосредственно из непрерывности показательной функции и равенства справедливого при всех действительных Далее, изменяя знак у переменной X в (25.1) и (25.2), приходим к заключению, что

Если случайные величины связаны линейной зависимостью

то характеристическая функция случайной величины К выражается через характеристическую функцию случайной величины X формулой

Действительно, на основании свойства (19.5) математического ожидания можем написать:

откуда и следует формула (25.5).

Если случайные величины независимы и

то характеристическая функция случайной величины равна произведению характеристических функций случайных величин X и Y:

Действительно, на основании определения (17.1) математического ожидания произвольной функции двух случайных величин и формулы (16.9) для плотности вероятности независимых случайных величин имеем:

откуда и следует формула (25.7). Формула (25.7) легко обобщается на сумму любого количества случайных величин: характеристическая функция суммы независимых случайных величин

равна произведению характеристических функций слагаемых:

Комбинируя формулы (25.5) и (25.11), получаем формулу для характеристической функции линейной функции

независимых случайных величин

Если существует момент порядка случайной величины X, то формулу (25.2) можно дифференцировать раз, так как в результате

получится равномерно (относительно X) сходящийся интеграл. Тогда будем иметь:

Предположим теперь, что случайная величина X имеет конечные моменты всех порядков. Пусть произвольный полином. Из (25.14) следует, что

Подставляя в (25.2) разложение (13.3) плотности вероятности и принимая во внимание (25.15), получим соответствующее разложение характеристической функции

где характеристическая функция, соответствующая «эталонной» плотности вероятности Таким образом, разложение характеристической функции, соответствующее разложению (13.3) плотности вероятности, получается из (13.3) заменой плотностей вероятности соответствующими характеристическими функциями и аргумента х полиномов оператором

Подставляя в формулу (25.2) выражение (11.6), найдем характеристическую функцию нормально распределенной случайной величины X:

Применяя для вычисления интеграла формулу (9.19), получим:

Пример 1. Найти характеристическую функцию прерывной случайной величины.

Пользуясь для вычисления математического ожидания формулой (10.10), находим выражение характеристической функции любой прерывной случайной величины:

Применяя эту формулу, в частности, для определения характеристической функции числа появлений события при независимых опытах, получим на основании формулы (6.3):

Если условия опытов постоянны, то и формула (25.20) принимает более простой вид:

Для определения характеристической функции распределения Пуассона изменим обозначения в формуле (12.22), заменив величину X величиной а. Тогда, применяя формулу (25.19), получим:

Пример 2. Найти характеристическую функцию равномерного распределения.

Подставляя в (25.2) выражение (8.8) плотности вероятности равномерно распределенной случайной величины, получим:

или, полагая

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление