Главная > Математика > Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 21. Приведение случайного вектора к случайному вектору с некоррелированными составляющими

В приложениях часто приходится решать задачу замены случайного вектора X другим случайным вектором, составляющие которого взаимно не коррелированы и являются линейными функциями составляющих вектора Эту задачу можно решить бесчисленным множеством способов. Мы не будем здесь разбирать ее в общем виде, а приведем лишь один простейший способ ее решения. Положим:

где составляющие некоторого случайного вектора пока неопределенные коэффициенты, которые мы определим так, чтобы случайные величины были некоррелированными. Тогда, решая уравнения (21.1) последовательно относительно можно будет определить все составляющие случайного вектора V, удовлетворяющего поставленному условию.

Очевидно, что дисперсия случайной величины равна дисперсии случайной величины т. е.

Пользуясь формулой (20.22), выразим корреляционный момент случайных величин через дисперсии и корреляционный момент случайных величин и :

Отсюда видно, что, для того чтобы случайные величины и не были коррелированы, коэффициент следует определить формулой

После этого, пользуясь формулой (20.18) для дисперсии линейной функции некоррелированных случайных величин, будем иметь:

Отсюда находим дисперсию случайной величины :

Подобным же образом можно определить коэффициенты в третьей формуле (21.1) так, чтобы случайная величина не была коррелирована со случайными величинами и Предполагая, что коэффициенты в первых формулах (21.1) определены так, что случайные величины не коррелированы, выразим при помощи формулы (20.22) корреляционный момент случайных величин и при Тогда получим:

Отсюда видно, что, для того чтобы случайная величина не была коррелирована со случайными величинами

коэффициенты следует определить формулами:

После этого, пользуясь формулой (20.18), будем иметь:

откуда находим дисперсию случайной величины

Давая в формулах (21.8) и значения можно последовательно определить все коэффициенты формулах (21.1) и дисперсии случайных величин так, чтобы случайные величины были некоррелированными.

Изложенный способ дает возможность выразить составляющие любого случайного вектора, для которого известны математическое ожидание и корреляционная матрица, в виде линейных функций некоррелированных случайных величин, математические ожидания которых равны нулю.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление