Главная > Математика > Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

II. Некоторые сведения из теории линейных интегральных уравнений с симметричным ядром

Уравнение

с неизвестной функцией называется однородным линейным интегральным уравнением второго рода с симметричным ядром и с весом если функция симметрична:

Аргументы могут быть совершенно произвольными скалярными или векторными переменными, изменяющимися в одной и той же области В последнем случае интеграл в уравнении следует понимать как кратный интеграл. Вес может быть совершенно произвольной положительной функцией, в частности, может содержать импульсные -функции. Если, в частности, аргументы являются скалярными переменными, а вес представляет собой линейную комбинацию -функций, то интеграл в будет линейной комбинацией значений неизвестной функции в дискретном ряде точек. В результате функция будет выражена через свои значения в дискретном ряде точек, а для определения этих значений получится система однородных линейных алгебраических уравнений.

В другом частном случае, когда являются векторами, а вес представляет собой линейную комбинацию -функций одной из составляющих вектора коэффициентами которой являются обычные функции остальных составляющих вектора уравнение превратится в систему однородных линейных интегральных уравнений. Если в правой части уравнения добавить произвольную данную функцию то получится неоднородное линейное интегральное уравнение второго рода, которое будет в рассмотренных частных случаях превращаться в систему неоднородных линейных алгебраических уравнений или в систему неоднородных линейных интегральных уравнений. Таким образом, при нашем понимании

аргументов и веса теория линейных интегральных уравнений является весьма общей и включает в себя в качестве частных случаев теорию систем линейных алгебраических уравнений с симметричной матрицей коэффициентов и теорию систем линейных интегральных уравнений.

Мы будем говорить, что уравнение имеет решение при данном значении параметра X, если существует функция с удовлетворяющая уравнению при данном значении X, для которой

Уравнение не при любом значении параметра X имеет решение. Это видно хотя бы из хорошо известного факта, что система линейных однородных алгебраических уравнений, которая, как мы видели, является частным случаем интегрального уравнения имеет решение только при тех значениях параметра X, при которых определитель системы равен нулю.

Значения параметра X, при которых интегральное уравнение имеет решение, называются собственными значениями ядра а соответствующие собственным значениям решения уравнения называются собственными функциями ядра К. В дальнейшем мы покажем, что всякое симметричное ядро, удовлетворяющее одному весьма общему условию, имеет собственные значения. А сейчас изучим свойства собственных значений и собственных функций, предполагая, что они существуют.

Докажем прежде всего, что все собственные значения симметричного ядра действительны. Для доказательства умножим уравнение на и проинтегрируем результат по переменной Тогда получим:

откуда

Знаменатель дроби в правой части полученной формулы, очевидно, является действительной (положительной) величиной. Остается

доказать, что числитель также всегда будет действительной величиной. Принимая во внимание симметрию ядра и пользуясь тем, что определенный интеграл не зависит от обозначения переменных интегрирования, будем иметь:

Это равенство показывает, что числитель дроби в совпадает со своей комплексной сопряженной величиной и, следовательно, является действительным числом. Таким образом, мы доказали, что любое собственное значение симметричного ядра является действительным числом.

Ядро К называется определенно положительным, если при любой функции

Точно так же ядро К называется определенно отрицательным, если интеграл в левой части не может быть положительным ни для какой функции Равенство показывает, что все собственные значения определенно положительного ядра положительны, а все собственные значения определенно отрицательного ядра отрицательны, причем в обоих случаях могут существовать и нулевые собственные значения.

Пусть теперь два различных собственных значения, а соответствующие собственные функции. Тогда, по определению собственных значений и собственных функций, будем иметь:

Перейдем в равенстве к комплексным сопряженным величинам, умножим его на и вычтем почленно из равенства предварительно умноженного на Полученное в результате

равенство проинтегрируем по переменной Тогда, принимая во внимание симметрию ядра получим:

Вследствие независимости определенного интеграла от обозначения переменных интегрирования интегралы в левой части равенства равны друг другу. Поэтому из равенства следует формула

Это равенство выражает, что собственные функции симметричного ядра, соответствующие двум различным собственным значениям, - ортогональны с весом

Если какому-нибудь собственному значению X соответствуют несколько линейно независимых собственных функций то любая их линейная комбинация, очевидно, тоже будет собственной функцией. Это обстоятельство дает возможность выбрать систему линейно независимых собственных функций, соответствующих одному и тому же собственному значению X, так, чтобы они все были взаимно ортогональны. Действительно, пусть все линейно независимые собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению Положим:

и выберем коэффициент так, чтобы функции и были ортогональными. Это всегда можно сделать, так как, умножая на и интегрируя по получаем:

причем вследствие того, что все собственные функции по определению удовлетворяют условию коэффициент при всегда отличен от нуля. Поэтому коэффициент всегда можно определить так, чтобы правая часть равенства была равна нулю. Аналогично, полагая

можно будет определить так, чтобы собственная функция была ортогональна к собственным функциям и Предположим, что таким образом мы определили взаимно ортогональные собственные функции и положим:

Умножая это равенство на , интегрируя результат по области и принимая во внимание ортогональность собственных функций получим:

Приравнивая левую часть этого равенства нулю, получим уравнение для определения которое дает при любом

Таким образом, определив первую собственную функцию равенством (11.12) и полагая в и последовательно мы заменим систему линейно независимых собственных функций соответствующих одному и тому же собственному значению X, равноценной системой взаимно ортогональных собственных функций А так как выше было доказано, что собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, всегда взаимно ортогональны, то, следовательно, все собственные функции симметричного ядра всегда можно считать взаимно ортогональными. Кроме того, собственные функции всегда можно выбрать так, чтобы для каждой из них интеграл в левой части неравенства был равен единице, так как при умножении любого решения уравнения на произвольную постоянную снова получается решение этого уравнения. Следовательно, систему собственных функций симметричного ядра всегда можно считать удовлетворяющей условию

Системы функций, удовлетворяющие этому условию, обычно называются ортонормированными.

Условимся счйтать собственное значение, которому соответствуют ортонормированных собственных функций, совокупностью равных друг другу собственных значений, каждому из которых

соответствует одна собственная функция. При таком условии можно будет считать, что каждому собственному значению соответствует одна и только одна собственная функция.

До сих пор мы считали ядро К и вес произвольными функциями. Для дальнейшего изложения необходимо подчинить их условию

Пусть произвольные собственные значения, — соответствующие ортонормированные собственные функции. Тогда из очевидного неравенства

принимая во внимание определение собственных функций и учитывая получим:

откуда

Это неравенство показывает, что при любом может существовать лишь конечное число собственных значений, превосходящих Отсюда следует, что симметричное ядро, удовлетворяющее условию может иметь лишь конечное или счетное множество собственных значений. Это дает возможность перенумеровать все собственные значения и соответствующие собственные функции в порядке невозрастания абсолютной величины собственных значений При этом, как показывает неравенство (11.23), собственные значения образуют сходящуюся к нулю последовательность, а ряд 2 будет сходящимся. В дальнейшем мы везде будем считать, что собственные значения перенумерованы в порядке невозрастания абсолютной величины.

Рассмотрим теперь симметричное ядро

и соответствующее ему интегральное уравнение

Умножая равенство (11.24) на интегрируя результат по 5 и принимая во внимание получим:

Но есть собственная функция ядра К, соответствующая собственному значению Следовательно, равенство (11.26) принимает вид:

Это равенство показывает, что собственные функции ядра К ортогональны к ядру

Пусть теперь какое-нибудь собственное значение и соответствующая собственная функция ядра Умножая уравнение на и интегрируя результат по получим:

Но на основании

вследствие чего равенство дает:

Таким образом, любая собственная функция ядра ортогональна к собственным функциям ядра

Теперь легко доказать, что любая собственная функция ядра является в то же время собственной функцией ядра К. Для этого достаточно подставить выражение ядра в уравнение и учесть равенство Таким образом, мы доказали, что любая собственная функция ядра является собственной функцией ядра ортогональной к и следовательно, ядро не может иметь никаких собственных значений и никаких собственных функций, кроме собственных значений и соответствующих собственных функций ядра К.

Докажем теперь, что все числа являются собственными значениями ядра а функции соответствующими собственными функциями. Для доказательства умножим (11.24) на и проинтегрируем результат по Тогда, принимая во внимание, что функция при ортогональна к функциям и учитывая, что функция является собственной функцией ядра соответствующей собственному значению получим:

что и доказывает высказанное утверждение. Таким образом, числа и функции образуют полную систему собственных значений и соответствующих им ортонормированных собственных функций ядра

Мы изучили основные свойства собственных значений и собственных функций, предполагая, что они существуют, и при этом нигде не пользовались теоремой о существовании собственных значений у любого симметричного ядра, для которого интеграл не равен нулю. Для дальнейшего изложения нам понадобится воспользоваться этой теоремой. Для того чтобы не прерывать изложения, а заодно наметить путь доказательства существования собственных значений, мы отложим пока это доказательство, причем само собой разумеется, что мы не должны будем использовать нижеследующие результаты при доказательстве существования собственных значений.

На основании изученных свойств ядер ядро в случае существования у ядра К конечного числа собственных значений или ядро в случае существования у ядра К счетного множества собственных значений будет ядром, не имеющим собственных значений. На основании теоремы о существовании собственных значений интеграл для ядра в случае конечного множества собственных значений или ядра в случае бесконечного множества собственных значений будет равен нулю. Это означает, что при всех значениях аргументов кроме, может быть, значений принадлежащих некоторому множеству которому соответствует суммарный вес, равный нулю:

справедлива формула

Для строгого доказательства этой формулы достаточно показать,

что ряд в этой формуле сходится в среднем к ядру К. На основании (11.19) при любых целых положительных пит имеет место формула

Вследствие доказанной выше сходимости ряда правая часть формулы (11.34) при любом будет сколь угодно малой, если выбрать достаточно большим. Это и доказывает сходимость в среднем ряда в формуле к некоторой предельной функции При этом будет иметь место формула

А так как на основании теоремы о существовании собственных значений ядро без собственных значений равно нулю при значениях кроме принадлежащих множеству удовлетворяющему условию то функция К совпадает с ядром К при всех значениях и 5, за исключением может быть значений, принадлежащих множеству Это доказывает сходимость ряда в формуле (11.33) в среднем к ядру К:

Равенство (11.36) и неравенства (11.21) и (11.22) показывают, что суммой ряда 2 является интеграл (11.20).

Сходимость ряда в среднем к ядру К имеет место для любого ядра для которого интеграл конечен. Для непрерывных и ограниченных в области определенно положительных или определенно отрицательных ядер ряд в формуле (11.33) сходится равномерно при всех Для доказательства достаточно заметить, что для любого непрерывного определенно положительного ядра К при всех справедливо неравенство

В самом деле, если непрерывное ядро К отрицательно в точке то оно будет отрицательным и в некоторой области окружающей точку Выбирая функцию положительной при А и равной нулю вне области А, мы получим:

что противоречит предположению, что ядро К определенно положительно. Выше мы доказали, что все собственные значения определенно положительного ядра положительны. Пользуясь формулой (11.33), в которой по доказанному ряд сходится в среднем, и принимая во внимание, что сходящиеся в среднем ряды можно почленно интегрировать, можно доказать обратную теорему: всякое ядро, все собственные значения которого положительны, определенно положительно. Следовательно, ядро будет определенно положительным и для него справедливо неравенство (11.37):

Так как ядро К по предположению ограничено и, следовательно, не превосходит некоторого числа то из (11.39) вытекает неравенство, справедливое при любых

Пользуясь неравенством Коши (см. сноску на стр. 739) и неравенством находим для любых целых положительных чисел пит:

Правая часть этого неравенства не зависит от и при любом будет сколь угодно малой, если взять достаточно большим. Это

доказывает равномерную сходимость ряда относительно каждой из переменных и 5 при фиксированном значении другой переменной. Можно доказать также, что ряд для ограниченных непрерывных определенно положительных и определенно отрицательных ядер сходится равномерно относительно совокупности переменных при изменении каждой из них в области

Легко понять, что ряд будет равномерно сходящимся и для всех непрерывных ограниченных ядер, имеющих конечное число отрицательных собственных значений, так как в этом случае при достаточно большом ядро будет определенно положительным и для него будет справедливо неравенство Точно так же для непрерывного ограниченного ядра имеющего конечное число положительных собственных значений, ядро будет определенно отрицательным при достаточно большом

Формула будет строго доказана, если мы докажем существование собственных значений у всякого симметричного ядра, для которого интеграл не равен нулю и конечен, не пользуясь этой формулой и вытекающими из нее следствиями. Для того чтобы сделать это, нам придется изучить свойства повторных ядер, определяемых формулами

Легко доказывается, что все повторные ядра симметричного ядра симметричны и при любых справедлива формула

если принять

Пусть какое-нибудь собственное значение и соответствующая собственная функция ядра К. Умножая уравнение на интегрируя результат по и снова пользуясь уравнением и формулой получим:

Эта формула показывает, что все собственные функции ядра К являются в то же время и собственными функциями повторного ядра причем собственные значения ядра являются квадратами соответствующих собственных значений ядра Аналогично доказывается, что все собственные функции ядра К являются собственными функциями ядра при любом , причем собственные значения ядра

являются степенями соответствующих собственных значений ядра Докажем теперь, что повторные ядра не имеют никаких других собственных значений, кроме соответствующих степеней собственных значений ядра Пусть собственное значение ядра которому соответствует собственная функция Следовательно,

Так как симметричное ядро может иметь только действительные собственные значения, то уравнение

имеет один действительный корень При этом все корней уравнения определяются формулой

Очевидно, что числа при любом образуют геометрическую прогрессию со знаменателем Следовательно, при любом имеет место формула

Полагая здесь в частности получим:

Рассмотрим теперь функций

Очевидно, что интегралы соответствующие этим функциям, не могут быть все равны нулю, так как вследствие

а интеграл соответствующий собственной функции по определению не равен нулю. Докажем теперь, что все функции удовлетворяют уравнению Действительно, вследствие формулы

Аналогично, пользуясь формулой и принимая во внимание и найдем:

Формулы (11.53) и (11.54) показывают, что каждое слагаемое правой части формулы (11.51) после умножения на и интегрирования по переходит в следующее слагаемое, умноженное на а последнее слагаемое при этом переходит в первое слагаемое, умноженное на Следовательно, умножая функцию на и интегрируя результат по получим:

Это равенство показывает, что все функции удовлетворяющие условию являются собственными функциями ядра а соответствующие корни уравнения (11.47) являются собственными значениями ядра Таким образом, любое собственное значение ядра является степенью некоторых собственных значений ядра К, а соответствующая собственная функция ядра является, согласно (11.52), линейной комбинацией собственных функций ядра соответствующих тем собственным значениям, степени которых равны Так как все собственные значения ядра К действительны, то при нечетном только может быть собственным значением ядра К и интеграл может быть не равен нулю только для функции а при четном только могут быть собственными значениями и интеграл может быть отличным от нуля только для функций и

В теории интегральных уравнений большую роль играют числа

называемые обычно следами ядра Для наших целей достаточно рассматривать только четные следы. Заменяя в формуле на пользуясь формулой при и принимая во внимание симметрию ядра получим для четных следов ядра К формулу

Эта формула показывает, что числа не могут быть отрицательными. Докажем, что ни одно из них не может быть равно нулю, если интеграл (11.20) не равен нулю. Для доказательства положим в формуле умножим ее на и проинтегрируем по Тогда, принимая во внимание определение чисел получим:

Отсюда, пользуясь неравенством Буняковского, находим:

или

Это неравенство показывает, что все числа начиная с равны нулю, если хотя бы одно из них равно нулю. Остается доказать, что не может быть равно нулю, если интеграл равный, очевидно, не равен нулю. Применяя неравенство Буняковского, получим для любой функции удовлетворяющей условию

неравенство

Отсюда следует, что при для любой функции удовлетворяющей условию (11.61), справедливо равенство

Подставляя сюда выражение из и принимая во внимание симметрию ядра получим:

или

Отсюда следует, что для любой функции удовлетворяющей условию (11.61),

для всех значений кроме, может быть, некоторого множества значений имеющего суммарный вес, равный нулю:

Умножая равенство (11.66) на и интегрируя по получим:

для любой функции удовлетворяющей условию (11.61). Но если то в области существует такое множество точек для которого

и по крайней мере одна из величин не равна нулю и имеет один и тот же знак для всех значений Вследствие

этого интеграл (11.68) не будет равен нулю для функции положительной во всех точках множества и равной нулю во всех остальных точках области Таким образом, равенство (11.68) не может быть выполнено для всех функций удовлетворяющих условию если Полученное противоречие доказывает, что величина не может быть равной нулю, если Следовательно, по доказанному выше, ни одна из величин не может быть равной нулю, если

Применяя к повторным ядрам формулу (11.33), получим на основании изученных свойств повторных ядер формулу

Подставляя это выражение в и принимая во внимание, что сходящиеся в среднем ряды можно почленно интегрировать, получим:

Формулы и можно будет считать строго доказанными только после того, как мы докажем существование собственных значений у симметричного ядра. Само собой разумеется, что этими формулами нельзя пользоваться при доказательстве существования собственных значений. Однако их можно использовать для наводящих рассуждений, которые помогут выявить основные идеи метода доказательства существования собственных значений. Так как собственные значения образуют невозрастающую последовательность, то при достаточно большом основными в формулах и будут первые слагаемые, а остальные слагаемые будут малыми по сравнению с первыми. Поэтому при больших значениях из формул (11.70) и (11.71) должны следовать приближенные формулы

Из этих формул вытекают следующие приближенные формулы для наибольшего по абсолютной величине собственного значения и соответствующей собственной функции:

Эти формулы показывают, что при достаточно большом величина приближенно равна наибольшему собственному значению повторного ядра а функция при фиксированном значении 5 является приближенно соответствующей собственной функцией. Легко видеть, что первая приближенная формула (11.73) остается

справедливой и в том случае, когда существует несколько собственных значений, абсолютная величина которых равна Однако при этом в левой части второй формулы будет фигурировать сумма нескольких выражений того же вида, т. е. линейная комбинация нескольких собственных функций ядра соответствующих одному и тому же собственному значению. Следовательно, функция при фиксированном значении этом случае должна быть приближенно собственной функцией ядра соответствующей наибольшему собственному значению Приближенные формулы приводят к следующему способу доказательства существования собственных значений. Во-первых, следует доказать, что величина стремится к отличному от нуля пределу с при Во-вторых, следует доказать, что функция при некотором фиксированном значении 5 стремится в определенном смысле к некоторой предельной функции После этого, пользуясь вытекающей формулой

надо будет доказать, что функция при некотором фиксированном значении 5 удовлетворяет условию и является собственной функцией ядра соответствующей собственному значению с. Отсюда на основании доказанного выше предложения будет следовать, что по крайней мере одно из чисел с является собственным значением ядра К.

Так как по доказанному ни одно из чисел не может быть равно нулю, если то из (11.60) вытекает неравенство

Отсюда следует, что числа образуют неубывающую последовательность. С другой стороны, пользуясь формулой и неравенством Буняковского, находим:

Умножая это неравенство на интегрируя по и принимая во внимание (11.57), получим:

Полагая здесь получим:

Это неравенство показывает, что последовательность чисел ограничена сверху. А так как всякая неубывающая ограниченная сверху последовательность положительных чисел имеет отличный от нуля положительный предел, то последовательность чисел сходится к некоторому положительному пределу с.

Для дальнейшего нам понадобится доказать еще, что последовательность чисел имеет предел. Из неравенства

находим:

Отсюда следует, что числа образуют невозрастающую последовательность. С другой стороны из (11.75) и (11.77) вытекает неравенство

справедливое при любом фиксированном при всех Следовательно, и предел с отношения удовлетворяет неравенству

Это неравенство показывает, что при любом отношение не может быть меньше единицы. Таким образом, невозрастающая последовательность чисел ограничена снизу единицей и, следовательно, имеет положительный предел, не меньший единицы.

Перейдем ко второй части доказательства. Положим:

Тогда формула перепишется в виде:

На основании формулы (11.57) для функции справедливо равенство

Точно так же на основании формул (11.83), (11.56) и (11.44) справедлива формула

Кроме того, применяя формулу дважды, можем переписать формулу в виде:

Пользуясь этой формулой и неравенством Буняковского, находим:

Отсюда, производя элементарные преобразования и принимая во внимание и получим:

Вследствие сходимости последовательности и неравенства правая часть этого неравенства будет сколь угодно малой при достаточно большом при любом и при любых за исключением может быть некоторого множества значений для которого имеет место равенство (11.67). Следовательно, при любом фиксированном значении не принадлежащем множеству последовательность функций сходится в среднем к некоторой функции Из и следует, что для этой предельной функции справедливо неравенство

Следовательно, в области существует множество значений для которого

и

при любом Вследствие (11.91) множество содержит значения , не принадлежащие множеству о котором шла речь. Для всех этих значений 5 последовательность функций сходится в среднем к функции удовлетворяющей условию (11.92). Эта предельная функция удовлетворяет при всех значениях не принадлежащих множеству уравнению

которое вытекает из вследствие того, что сходящиеся в среднем ряды можно интегрировать почленно. Равенство показывает, что удовлетворяющая условию (11.92) функция переменной является собственной функцией ядра соответствующей собственному значению с, чем и завершается доказательство существования по крайней мере одного собственного значения.

Изложенное дает один возможный практический способ определения наибольшего по абсолютной величине собственного значения и соответствующей собственной функции (линейно независимых собственных функций в случае кратного наибольшего по абсолютной величине собственного значения). Применяя этот способ последовательно к ядрам можно определить другие собственные значения ядра К в порядке убывания их абсолютной величины и соответствующие собственные функции. Заметим еще, что, пользуясь формулой (11.71) и неравенством (11.77), можно доказать, что числа образуют невозрастающую последовательность, сходящуюся к наибольшему собственному значению с ядра Величина при достаточно большом определяет кратность наибольшего собственного значения ядра

Другой возможный практический способ определения собственных значений основан на том факте, что наибольшее положительное и наибольшее по абсолютной величине отрицательное собственные значения представляют собой соответственно максимум и минимум числителя правой части формулы на множестве всех функций, удовлетворяющих условию (11.61). Функции для которых достигаются

максимум и минимум, представляют собой соответствующие собственные функции. Существуют и другие практические способы приближенного определения собственных значений и собственных функций.

Заметим еще, что в случае, когда ядром уравнения является корреляционная функция случайной функции, связанной с белым шумом линейным дифференциальным уравнением (130. 1), для нахождения собственных значений и собственных функций можно воспользоваться методом решения интегральных уравнений, изложенным в §§ 130 и 131. Для этого достаточно положить в уравнениях §§ 130 и 131

и принять во внимание, что при этом функция не может содержать -функцию и ее производные. В результате получим для определения собственных функций линейное дифференциальное уравнение и граничные условия, зависящие от параметра Это уравнение и граничные условия определяют собственные значения и собственные функции [64].

Изложенным исчерпываются сведения по теории интегральных уравнений, необходимые для понимания всего изложенного в книге. Желающие ознакомиться с теорией интегральных уравнений более основательно должны обратиться к специальным руководствам (см.. например, [42, 74]).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление