Главная > Математика > Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 113. Оценка точности экспериментального определения вероятностных характеристик

В предыдущих параграфах мы характеризовали точность оценок вероятностей событий и вероятностных характеристик случайных величин средними квадратическими ошибками оценок, совпадающими для несмещенных оценок с их средними квадратическими

отклонениями (т. е. корнями квадратными из дисперсий). Для более полной характеристики точности оценок необходимо уметь вычислять вероятности различных отклонений оценок от определяемых ими вероятностных характеристик. Иными словами, необходимо уметь вычислять вероятности различных приближений оценок к соответствующим вероятностным характеристикам. А для этого необходимо знать законы распределения оценок.

Если число опытов достаточно велико, то законы распределения всех рассмотренных оценок оказываются близкими к нормальному. Поэтому при большом числе опытов вероятности различных приближений оценок к определяемым ими вероятностным характеристикам можно вычислять по формуле (11.11) для смещенных оценок и по формуле (11.13) для несмещенных оценок. При этом, конечно, придется пользоваться таблицей функции Необходимые для вычислений математические ожидания и дисперсии оценок можно определить по формулам предыдущих параграфов. То, что математические ожидания и дисперсии оценок выражаются через неизвестные вероятности событий, математические ожидания, дисперсии и корреляционные моменты случайных величин, при большом числе опытов не представляет затруднений, так как без ущерба для точности можно принять эти характеристики равными соответствующим оценкам, вычисленным по результатам опытов.

Если число опытов невелико, то изложенный способ вычисления вероятностей различных приближений оценок к соответствующим вероятностным характеристикам оказывается слишком грубым. Поэтому при малом числе опытов приходится пользоваться точными законами распределения оценок. Так как оценки вероятностных характеристик случайных величин являются функциями случайных результатов опытов, то для нахождения законов распределения оценок можно применить теорию функциональных зависимостей между случайными величинами, изложенную в главе 5, и в частности формулы §§ 32 и 33.

Для вычисления вероятностей различных приближений среднего арифметического полученных в результате опытов значений случайной величины к ее математическому ожиданию обычно пользуются законом распределения случайной величины

предполагая, что наблюдаемая случайная величина X распределена нормально. Так как случайная величина является функцией

независимых случайных величин подчиненных одному и тому же нормальному закону распределения, то, применяя формулу (33.10), получим для плотности вероятности случайной величины формулу

Распределение вероятностей, определяемое этой формулой, обычно называют распределением Стъюдента. Число называют числом степеней свободы. Для вероятностей

составлены специальные таблицы (Приложение, таблица VI). Пользуясь этими таблицами, можно по любым двум из величин найти третью. Так как

то по таблице функции можно определять вероятности различных приближений среднего арифметического значения случайной величины к ее математическому ожиданию.

Для вычисления вероятностей различных приближений несмещенной оценки (111.12) к дисперсии обычно пользуются законом распределения случайной величины

представляющей собой умноженное на отношение оценки среднего квадратического отклонения случайной величины к ее истинному среднему квадратическому отклонению. Так как случайная величина X является функцией независимых случайных величин подчиненных одному и тому же нормальному закону распределения, то, применяя формулу (33.10), получим для плотности вероятности случайной величины X формулу

Распределение вероятностей, определяемое этой формулой, обычно называется распределением степенями свободы. Для вероятностей

составлены таблицы [69] (Приложение, таблица VII), по которым любая из трех величин может быть определена, если заданы две другие. Так как

то по таблице функции можно определять вероятности различных приближений оценок дисперсии и среднего квадратического отклонения случайной величины к истинным значениям этих характеристик.

Точное вычисление вероятностей различных приближений оценок корреляционных моментов и коэффициентов корреляции к истинным значениям этих характеристик представляет задачу несравненно более сложную, чем рассмотренные выше. К счастью, закон распределения случайной величины

уже при сравнительно небольших значениях числа опытов оказывается весьма близким к нормальному закону распределения с математическим ожиданием

и дисперсией

Поэтому вероятности различных приближений оценок корреляционных моментов и коэффициентов корреляции к истинным значениям этих характеристик можно с достаточной точностью вычислять по формулам (11.11) и (11.13) с помощью таблицы функции

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление