Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления

  

Пугачев В.С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. Изд. 2-ое, перераб. и допол. — М.: Физматлит, 1960. — 883 с.

В книге дается систематическое изложение прикладной теории случайных функций и вероятностных методов теории автоматического управления (статистической динамики систем автоматического управления). После краткого изложения основ теории вероятностей рассматриваются основные понятия теории случайных функций. Дается изложение общей теории линейных систем. Подробно рассматриваются методы исследования точности линейных и нелинейных систем, как одномерных, так и многомерных, имеющих любое количество входов и выходов, работающих под действием произвольных случайных возмущений (различного рода шумов и помех). Особое внимание уделено современной статистической теории обнаружения и воспроизведения сигналов в присутствии помех. Эта теория дает эффективные общие методы нахождения статистических решений и применима к обширному классу задач, возникающих в различных прикладных областях науки: теории автоматического управления, радиотехнике, ракетодинамике, теории космических полетов, метеорологии, сейсмологии, звукозаписи и т. д. Эта теория дает алгоритмы, которые могут быть использованы для развития сложных новейших автоматических систем, имеющих в своем составе математические машины. Применение изложенных в книге методов наглядно показано на примерах. Теория случайных функций и вероятностные методы теории автоматического управления изложены в книге в основном по работам автора.

Книга рассчитана на широкие круги научных работников и инженеров, работающих в области автоматики и автоматизации производства в различных отраслях техники. Книга может быть также полезна для специалистов в области радиотехники и в других областях техники, в которых возникают задачи преобразования сигналов, содержащих полезную информацию и шумы или помехи.



Оглавление

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
ГЛАВА 1. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА
§ 1. Случайные явления. Предмет теории вероятностей
§ 2. Экспериментальные основы теории вероятностей. Частота и вероятность события
§ 3. Теорема сложения частот. Принцип сложения вероятностей
§ 4. Условные частоты и условные вероятности. Зависимые и независимые события
§ 5. Формула полной вероятности. Формула Бейеса
§ 6. Повторение опытов
ГЛАВА 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
§ 7. Функция распределения
§ 8. Плотность вероятности
§ 9. Применение импульсных функций и обобщение понятия плотности вероятности
§ 10. Моменты случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение
§ 11. Нормальный закон распределения
§ 12. Закон распределения Пуассона
§ 13. Приближенное аналитическое представление законов распределения
ГЛАВА 3. ВЕКТОРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
§ 14. Функция распределения случайного вектора
§ 15. Плотность вероятности случайного вектора
§ 16. Условные функции распределения и плотности вероятности
§ 17. Моменты двумерного случайного вектора. Корреляционный момент и коэффициент корреляции
§ 18. Моменты многомерного случайного вектора. Корреляционная матрица случайного вектора
§ 19. Математическое ожидание комплексной случайной величины. Свойства математических ожиданий
§ 20. Дисперсии и корреляционные моменты комплексных случайных величин. Свойства дисперсий и корреляционных моментов
§ 21. Приведение случайного вектора к случайному вектору с некоррелированными составляющими
§ 22. Двумерный нормальный закон распределения
§ 23. Многомерный нормальный закон распределения
§ 24. Квадратическое приближение случайной величины
ГЛАВА 4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
§ 25. Характеристическая функция скалярной случайной величины
§ 26. Выражение плотности вероятности через характеристическую функцию
§ 27. Связь между характеристической функцией и моментами случайной величины
§ 28. Характеристическая функция случайного вектора
§ 29. Связь между характеристической функцией и моментами случайного вектора
ГЛАВА 5. ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ АРГУМЕНТОВ
§ 30. Определение моментов функций случайных аргументов
§ 31. Применение линеаризации функций для приближенного определения моментов нелинейных функций случайных аргументов
§ 32. Закон распределения функции случайного аргумента
§ 33. Другой метод определения закона распределения функции случайного аргумента
§ 34. Закон распределения суммы случайных величин
§ 35. Применение характеристических функций для определения законов распределения функций случайных величин
ГЛАВА 6. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
§ 36. Неравенство Чебышева
§ 37. Теоремы Маркова и Чебышева. Виды вероятностной сходимости
§ 38. Теоремы Пуассона и Бернулли
§ 39. Теоремы Ляпунова и Лапласа
§ 40. Доказательство теоремы Ляпунова
ГЛАВА 7. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ
§ 41. О возможности измерения неопределенности результатов наблюдений случайных явлений
§ 42. Энтропия прерывной случайной величины
§ 43. Энтропия непрерывной случайной величины
§ 44. Информация и ее измерение
§ 45. Энтропия равномерного и нормального распределений
§ 46. Единственность определения энтропии прерывной случайной величины
§ 47. Энтропия неограниченных случайных последовательностей
ГЛАВА 8. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 48. Определение случайной функции. Законы распределения случайных функций
§ 49. Математическое ожидание и корреляционная функция случайной функции. Взаимная корреляционная функция двух случайных функций
§ 50. Моменты случайных функций
§ 51. Свойства корреляционных функций
§ 52. Сложение случайных функций
§ 53. Дифференцирование случайной функции
§ 54. Интегрирование случайной функции
§ 55. Предельная теорема для среднего значения случайной функции. Общая эргодическая теорема
ГЛАВА 9. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 56. Два вида канонических представлений случайных функций
§ 57. Общие формулы для координатных функций
§ 58. Каноническое разложение случайной функции в дискретном ряде точек
§ 59. Практический способ построения канонического разложения случайной функции в дискретном ряде точек
§ 60. Каноническое разложение случайной функции в данной области изменения аргумента
§ 61. Практический способ построения канонического разложения случайной функции в данной области изменения аргумента
§ 62. Общая форма канонического разложения случайной функции
§ 63. Построение канонического разложения случайной функции по каноническому разложению ее корреляционной функции
§ 64. Некоторые способы построения канонического разложения корреляционной функции
§ 65. Способ получения приближенного канонического разложения случайной функции
§ 66. Разложение случайной функции в ряд
§ 67. Интегральные канонические представления случайных функций
ГЛАВА 10. ВЕКТОРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 68. Приведение векторной случайной функции к скалярной
§ 69. Математическое ожидание и корреляционная функция векторной случайной функции
§ 70. Канонические разложения векторных случайных функций
§ 71. Интегральные канонические представления векторных случайных функций
ГЛАВА 11. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 72. Определение стационарной случайной функции
§ 73. Стационарная векторная случайная функция
§ 74. Эргодическое свойство стационарных случайных функций
§ 75. Стационарные случайные функции, эргодические по отношению к корреляционным функциям
§ 76. Каноническое разложение стационарной случайной функции
§ 77. Интегральное каноническое представление стационарной случайной функции. Спектральная плотность стационарной случайной функции
§ 78. Каноническое разложение стационарной векторной случайной функции
§ 79. Интегральное каноническое представление стационарной векторной случайной функции
§ 80. Случайные функции, приводимые к стационарным
ГЛАВА 12. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§ 81. Преобразование функций динамическими системами. Понятие оператора
§ 82. Оператор динамической системы как общая ее характеристика
§ 83. Весовые функции одномерных линейных систем
§ 84. Одномерные линейные системы, описываемые дифференциальными уравнениями
§ 85. Весовые функции многомерных линейных систем
§ 86. Другие характеристики линейных систем
§ 87. Стационарные линейные системы
ГЛАВА 13. ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
§ 88. Линейное преобразование случайной функции
§ 89. Линейное преобразование векторной случайной функции
§ 90. Общие методы исследования точности линейных систем
§ 91. Методы вычисления установившихся систематических ошибок стационарных линейных систем
§ 92. Исследование точности одномерных стационарных линейных систем с одним стационарным случайным возмущением
§ 93. Исследование точности одномерных стационарных линейных систем с одним нестационарным случайным возмущением
§ 94. Исследование точности одномерных линейных систем, близких к стационарным
§ 95. Исследование точности многомерных стационарных линейных систем
§ 96. Исследование точности многомерных линейных систем, близких к стационарным
§ 97. Один тип интегральных канонических представлений входных случайных возмущений
§ 98. Преобразование случайной функции случайным линейным интегральным оператором
ГЛАВА 14. ИССЛЕДОВАНИЕ ТОЧНОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
§ 99. Методы исследования точности нелинейных систем
§ 100. Общие принципы метода линеаризации операторов
§ 101. Непосредственная линеаризация уравнений Нелинейных систем
§ 102. Линеаризация уравнений нелинейных систем при помощи канонических разложений
§ 103. Метод статистической линеаризации
§ 104. Применение метода статистической линеаризации для исследования точности стационарных систем
§ 105. Применение метода статистической линеаризации для исследования точности нестационарных систем
§ 106. Преобразования случайных функций, приводимые к линейным
§ 107. Нелинейные интегральные преобразования случайных функций
§ 108. Применение метода канонических разложений для исследования нелинейных преобразований случайных функций
ГЛАВА 15. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ОПЫТОВ
§ 109. О характере задач определения вероятностных характеристик по результатам опытов
§ 110. Определение вероятностей событий, функций распределения и плотностей вероятности
§ 111. Определение математических ожиданий и дисперсий случайных величин
§ 112. Определение корреляционных моментов случайных величин
§ 113. Оценка точности экспериментального определения вероятностных характеристик
§ 114. Определение математических ожиданий и корреляционных функций эргодических стационарных случайных функций
§ 115. Определение математического ожидания случайной функции сглаживанием ее реализаций
§ 116. Основные понятия теории оценок
§ 117. Применение метода максимума правдоподобия для нахождения оценки математического ожидания случайной функции
ГЛАВА 16. ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ
§ 118. Задачи определения оптимальных систем
§ 119. Критерии оптимума
§ 120. Общее условие минимума средней квадратической ошибки
§ 121. Общие условия экстремума данной функции математического ожидания и дисперсии ошибки
§ 122. Уравнения, определяющие оптимальный линейный оператор
§ 123. Уравнения, определяющие оптимальное неоднородное линейное преобразование
§ 124. Общий анализ уравнений, определяющих оптимальный линейный оператор
§ 125. Уравнения, определяющие весовые функции оптимальных линейных систем
§ 126. Уравнение, определяющее оптимальный нелинейный интегральный оператор
ГЛАВА 17. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
§ 127. Определение оптимальной одномерной линейной системы в случае белого шума на входе
§ 128. Общая формула для определения весовой функции оптимальной одномерной линейной системы
§ 129. Формулы, определяющие оптимальную линейную систему в случае бесконечного интервала наблюдения и стационарной случайной функции на входе
§ 130. Определение оптимальной линейной системы в случае, когда входное возмущение связано с белым шумом линейным дифференциальным уравнением
§ 131. Другие варианты метода определения оптимальной линейной системы в случае, когда входное возмущение связано с белым шумом линейным дифференциальным уравнением
§ 132. Случай, когда входное возмущение представляет собой стационарную случайную функцию с дробно-рациональной спектральной плотностью
§ 133. Определение оптимального линейного оператора методом интегральных канонических представлений в общем случае
§ 134. Определение оптимальной одномерной линейной системы методом канонических разложений
§ 135. Определение оптимального линейного оператора методом канонических разложений в общем случае
§ 136. Определение оптимального линейного оператора в особых случаях
§ 137. Единственность решения и оценка приближения к оптимальному линейному оператору для критерия минимума средней квадратической ошибки
ГЛАВА 18. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
§ 138. Определение оптимального оператора в классе приводимых к линейным
§ 139. Определение оптимального нелинейного интегрального оператора
§ 140. Определение оптимального оператора по критерию минимума средней квадратической ошибки в классе всех возможных операторов
§ 141. Определение оптимального оператора по критерию минимума среднего риска при произвольной функции потерь
§ 142. Определение оптимального оператора по критерию минимума среднего риска в особых случаях
§ 143. Случай нормально распределенных сигнала и помехи
§ 144. Общий метод определения оптимального оператора по критерию минимума среднего риска
§ 145. Случай, когда функция потерь является функционалом, а сигнал и помеха распределены нормально
ДОПОЛНЕНИЕ
1. Некоторые сведения из теории линейных преобразований
II. Некоторые сведения из теории линейных интегральных уравнений с симметричным ядром
III. Нахождение минимума функции или функционала методом наискорейшего спуска
ПРИЛОЖЕНИЕ. ТАБЛИЦЫ ФОРМУЛ И ТАБЛИЦЫ ФУНКЦИЙ