Главная > Гидродинамика > Теоретическая гидродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.71. Ациклическое и циклическое безвихревые движения.

Если область, занимаемая жидкостью при безвихревом движении, односвязна, то потенциал скоростей однозначен, так как потенциал скоростей в точке Ропределяется следующей формулой (см. п. 2.52):

Этот интеграл имеет одно и то же значение для всех траекторий, соединяющих точки так как все такие траектории взаимно переводимы. Движение, при котором потенциал скоростей однозначен, называется ациклическим. Следовательно, в односвязной области единственно возможным безвихревым движением является ациклическое. Этот результат существенно зависит от возможности построения поверхности, целиком лежащей в жидкости и содержащей две любые траектории, соединяющие точки и последующего применения теоремы Стокса (см. п. 2.52).

Если область не односвязна, то две траектории между точками могут соединяться поверхностью, целиком лежащей в жидкости, только в том случае, если выполняются некоторые топологические условия. Если это не так, то нельзя сделать необходимого заключения из теоремы Стокса и тогда потенциал скоростей может иметь больше одного значения в точке которое зависит от траектории, соединяющей точку О с точкой

Если потенциал скоростей не однозначен, то говорят, что движение циклическое.

При непрерывном движении жидкости скорость в каждой точке должна быть однозначно определена. Таким образом, даже если потенциал имеет более одного значения в данной точке, то градиент должен быть однозначен. Следовательно, хотя две траектории, соединяющие точки могут привести к различным значениям потенциала скоростей эти значения могут отличаться только на скалярную величину х, такую, чтобы Таким образом, величина х не может зависеть от координат точки Эту скалярную величину можно отождествить с циркуляцией по одному из замкнутых контуров семейства взаимно переводимых, но не приводимых линий. Если С — какая-либо линия, то формула (1) показывает, что циркуляция по С равна уменьшению функции при обходе один раз по этому контуру.

Позднее у нас будет возможность рассмотреть отдельные типы циклического движения. Сейчас мы рассмотрим только ациклическое безвихревое движение и общие теоремы, которые будут доказаны применительно только к этому типу движения. Поэтому мы будем рассматривать только

односвязные области, но при этом следует также помнить, что ациклическое движение возможно также и в многосвязных областях.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление