Главная > Гидродинамика > Теоретическая гидродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.71. Другое обозначение для оператора d/dr

В предыдущем пункте мы показали, что оператор градиента может быть записан в виде

Следовательно, диадное произведение

равно единичному тензору, введенному в п. 2.16. Таким образом, если -постоянный вектор, то

Кроме того, следовательно, имеет место равенство

Эти результаты можно весьма просто обобщить.

Так, если то мы можем записать

Отсюда следует, что если а — постоянный вектор, то

а если некоторая скалярная функция переменных , то

Из формулы (6), повторив рассуждения, приведенные в п. 2.33, можно получить следующее равенство:

Легко показать, что если и -радиусы-векторы фиксированной частицы жидкости в разные моменты времени, то имеет место равенство

где через обозначено произведение Отсюда, в частности, находим соотношение

Пусть - однородная скалярная функция второй степени относительно векторов . Это означает, что если -скаляр, тогда

Введем обозначения тогда

и, следовательно,

Но

Таким образом,

Полагая получаем равенство

которое является векторным аналогом теоремы Эйлера об однородных функциях (второго порядка). Рассмотренное доказательство является совершенно общим и может быть применено к однородным функциям степени для этого в проведенном доказательстве число надо заменить на

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление