Главная > Гидродинамика > Теоретическая гидродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.70. Декартовы координаты.

Если выбраны три взаимно перпендикулярные оси и три единичных вектора параллельные этим осям, то любой вектор а может быть выражен через свои компоненты вдоль осей координат в виде

Так как векторы к взаимно перпендикулярны, то их скалярные произведения выражаются равенствами

а векторные произведения этих векторов — равенствами

Взяв второй вектор мы получим для скалярного произведения векторов выражение

Векторное произведение этих векторов записывается в виде

Векторное произведение можно записать более удобно в виде определителя

При такой форме записи легко видеть, что векторы а имеют противоположные знаки, так как второй вектор получается из первого перестановкой двух последних строк в определителе; вследствие этого определитель меняет знак, но абсолютная величина его не изменяется.

Если — скалярная функция, то мы можем доказать с помощью формул п. 2.22 равенство

а из формулы (1) п. 2.15 получить следующее соотношение:

которое после простых преобразований принимает вид

так что векторный оператор V может быть записан следующим образом:

Если мы применим оператор к вектору компоненты которого вдоль наших осей равны , то получим равенство

откуда после перемножения скобок найдем соотношение

Применяя эту операцию к вектору мы получим выражение для оператора Лапласа в виде

Аналогично

Последнее соотношение мы можем также записать символически следующим образом:

Чтобы найти выражение в декартовых координатах, заметим, что если

то

и, следовательно,

Наконец,

Приведенные выше соотношения в декартовых координатах показывают, насколько компактнее и удобнее использование векторных обозначений, не зависящих от системы координат. Векторные методы являются мощным средством для получения общих теорем и позволяют сразу выяснить их внутреннее содержание. Но для того чтобы исследовать частную задачу и получить числовые результаты, почти всегда необходимо на некотором этапе вводить систему координат. Ясно, что часто бывает полезно вводить систему координат в самом конце решения задачи.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление