Главная > Гидродинамика > Теоретическая гидродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Вывод уравнений Навье — Стокса

1) В общем случае произвольной вязкой жидкости тензор (в силу его симметрии) определяется заданием 6 скалярных величин. Следовательно, для того чтобы поставить задачу, нам надо задать определенное количество связей

между компонентами тензора напряжений и компонентами вектора скорости и его производными. Эти связи в гидродинамике вводятся на основе опытных представлений и носят характер гипотез. Законность этих гипотез основывается на вековой практике, показывающей, что существует широкий класс жидкостей и типов движения этих жидкостей, для которых эти гипотезы выполняются.

В основе наших представлений о взаимосвязи между полем тензора напряжений, полем скоростей и полем тензора лежит закон Ньютона. Если движение происходит вдоль оси; и параллельно плоскости то, согласно закону Ньютона, сила трения (отнесенная к единице площади) равна

где — коэффициент вязкости.

Справедливость этого закона (вернее, точность аппроксимации, которую он дает) подтверждена экспериментально для огромного большинства жидкостей и газов, когда они движутся в условиях, принятых в классической гидродинамике. Жидкости, которые подчиняются закону (17), будем называть ньютоновскими. Разумеется, существуют исключения. К числу неньютоновских жидкостей относятся, например, жидкости типа полимеров, обладающие очень большими молекулами, у которых, к тому же, одно измерение значительно больше двух других. Точно так же в условиях большой разреженности любой газ перестает быть ньютоновским.

Итак, согласно закону Ньютона, компоненты тензора напряжений определяются компонентами тензора который, как мы указывали, может быть представлен в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров. Антисимметричный тензор описывает квазитвердое движение элементарных частиц жидкости, при котором силы вязкости равны нулю. Следовательно, компоненты тензора могут зависеть только от компонент тензора скоростей деформаций

Закон Ньютона формулирует для одного частного случая — плоскопараллельного движения — линейную связь между компонентами обоих тензоров. Поэтому для распространения этого закона на случай произвольного движения жидкости естественно постулировать линейную связь между тензорами Итак, первая наша гипотеза будет состоять в том, что искомая связь имеет вид

Выражение — это общее представление линейной тензор-функции. Здесь А — тензор, который зависит только от физических свойств среды и не зависит от характера движения и напряженного состояния (т. е. от компонент Тензор В может зависеть от компонент , но формула (18) должна быть инвариантна относительно системы отсчета, следовательно,

В может зависеть только от инвариантов тензоров а из линейности сразу следует, что В может зависеть только от первых (линейных) инвариантов тензоров т. е. от скаляров

Ниже мы используем этот факт.

Вторая гипотеза будет состоять в предположении об изотропности среды: физические свойства среды не должны зависеть от направления и характера движения.

Эту гипотезу можно сформулировать еще и так. Главные направления тензоров должны быть коллинеарны. В самом деле, пусть это условие не имеет места; тогда в качестве осей координат в точке выберем главные оси тензора Недиагональные элементы тензора 5 будут равны нулю. Если соответствующая компонента силы трения не равна нулю, то мы должны приписать ей знак плюс или минус; выбор этого знака выделит некоторые преимущественные направления.

Из этой гипотезы сразу следует, что в любой системе координат представляют собой диагональные тензоры. Более того, из равноправия любых направлений должно следовать утверждение о том, что тензорные эллипсоиды тензоров имеют равные полуоси. Другими словами, тензоры имеют вид

где некоторые скаляры, причем скаляр а зависит только от физических свойств среды, т. е. от вязкости,

а скаляр есть линейная функция первых инвариантов тензоров т. е.

Итак, связь тензоров мы будем искать в виде

2) Найдем теперь коэффициенты Введем еще одну гипотезу: закон должен как частный случай содержать закон Ньютона . Рассмотрим плоскопараллельное течение вдоль оси (параллельное плоскости Тогда Формула в этом случае дает

а из формулы следует, что

сопоставление этих выражений однозначно определяет коэффициент а,

Для определения скаляров приравняем первые инварианты тензоров, стоящих в обеих частях равенства ,

Это равенство должно иметь место для любых форм движения, т. е. должно выполняться при любых значениях . Отсюда, приравнивая соответствующие слагаемые, мы сразу получаем

Итак, формула может быть переписана в следующем виде:

Это и есть искомая связь между компонентами обоих тензоров, однако в полученной форме это выражение еще неудобно для использования, поскольку в правую часть входит выражение

Выясним смысл величины Сила вязкости проявляется только при движении (при наличии градиентов скорости); следовательно, естественно предположить, что напряженное состояние в покоящейся вязкой жидкости будет таким же, как и в покоящейся идеальной жидкости. Но в идеальной жидкости

где гидростатическое давление.

Введем еще одну гипотезу: постулируем равенство , т. е. будем считать, что оно выполняется в движущейся вязкой жидкости. Тогда формула (24 может быть переписана так:

Формула (26) носит название обобщенного закона Ньютона.

3) Утверждение , вообще говоря, необоснованно даже интуитивно. В самом деле, нет никаких оснований отождествлять давление, определенное формулой , и давление, которое определяется уравнением состояния где газовая постоянная, абсолютная температура. Более естественно предположить, что где некоторый скаляр, обращающийся в нуль, когда жидкость покоится и инвариантный относительно замены системы отсчета.

На этом основании примем коэффициент носит название коэффициента второй вязкости. Впервые исследование явления второй вязкости было проведено Ландау. Существование коэффициента второй вязкости было установлено экспериментально. Одновременно тоже экспериментально было показано, что этот коэффициент заметно отличается от нуля только в особых случаях (например, если в жидкости происходят химические реакции специального вида). Таким образом, в настоящее время существует твердая уверенность в том, что в рамках классической гидродинамики нет необходимости учитывать эффект второй вязкости. На этом основании мы сохраним выражение для связи между тензорами и 5 в форме (26).

4) Перепишем равенство (26) в скалярной форме

Равенства (27 позволяют исключить компоненты тензора из уравнения в напряжениях:

Выражение для имеет вид

Используя (27 и (29), мы приведем уравнение в напряжениях (28 к следующей системе скалярных уравнений:

Если жидкость несжимаемая и — величина постоянная, то система уравнений упрощается и в векторной форме может быть записана так:

Уравнения (30) и (31) называются уравнениями Навье — Стокса.

В случае несжимаемой жидкости и независимости коэффициента вязкости от температуры уравнения (31 совместно с уравнением неразрывности образуют замкнутую систему уравнений относительно трех компонент вектора и давления

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление