Главная > Гидродинамика > Теоретическая гидродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ 19

1. Силы и деформации

1) Силы, действующие на жидкую частицу, разделяют обычно на массовые и поверхностные. К числу первых относятся силы тяготения и инерции. Они определяются некоторым векторным полем — полем напряженности.

Рис. 3

Поверхностными силами называются силы, возникающие в результате поверхностного взаимодействия частиц жидкости. Эти силы не могут быть описаны векторным полем. Пусть некоторая поверхность, проведенная внутри жидкости (рис. 3). Тогда на частицы жидкости, лежащие слева от поверхности действует некоторая сила со стороны частиц жидкости, лежащих справа от поверхности Силу, действующую через площадку на частицы жидкости, лежащие слева от 5, со стороны частиц, лежащих справа, будем обозначать Силу, действующую на частицы, лежащие справа, со стороны частиц, лежащих слева, будем обозначать Согласно третьему закону Ньютона, имеем

где обозначает направление нормали.

Изменив форму поверхности (а следовательно, и направление нормали в точке мы получим другое значение вектора

Таким образом, поверхностные силы зависят от ориентации площадки и, следовательно, в данной точке не могут быть определены единственным образом.

Вектор в общем случае составляет некоторый угол с нормалью п°. Проекцию этого вектора на направление нормали будем называть нормальным напряжением. Иногда будем употреблять термин «нормальное давление» или «растяжение», смотря по тому, тупой или острый угол образует вектор с положительным направлением нормали. Компоненту вектора лежащую в касательной плоскости к поверхности будем называть силой трения или касательным напряжением.

2) Докажем, что поверхностные силы (напряжения) полностью определяются заданием в каждой точке пространства трех векторов, причем эти три вектора образуют аффинный тензор второго ранга.

Рис. 4.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим равновесие жидких частиц внутри некоторого тетраэдра, грани которого параллельны координатным плоскостям (рис. 4). Согласно принципу Даламбера, эта система материальных точек будет находиться в равновесии, если к числу массовых сил добавить силы инерции. Но так как объемные силы пропорциональны кубу линейного размера, а поверхностные — квадрату линейного размера, то при исследовании равновесия тетраэдра достаточно малых размеров мы можем ограничиться рассмотрением только одних поверхностных сил. Это замечание не ограничивает общности, так как в процессе доказательства теоремы мы совершим предельный переход, стягивая тетраэдр в точку. Объемные силы окажутся при этом малыми величинами высшего порядка.

Обозначим через грани, нормали к которым совпадают с отрицательными направлениями координатных осей, а через наклонную грань тетраэдра. Условие равновесия запишется в виде

но поэтому равенство можно переписать следующим образом:

или

Равенство справедливо с точностью до малых величин второго порядка (отброшены малые величины третьего порядка). Стягивая тетраэдр к точке мы получаем точное равенство , справедливое в любой точке жидкости Равенство показывает, что в любой точке внутри жидкости напряжение отнесенное к площадке, имеющей нормаль , однозначно определяется тремя векторами

Эта тройка векторов образует тензор. В самом деле, ориентация площадки а следовательно, и нормали п° совершенно произвольны. Поэтому мы можем произвольную тройку ортогональных векторов (нормалей к трем площадкам принять в качестве новых осей декартовой системы координат.

Каждому такому направлению будет соответствовать вектор определенный, согласно , формулой

где

Но формула , которая определяет векторы заданные в системе координат через векторы определенные в системе координат как раз и является определением тензора (см. приложение к главе 2). Тройка векторов называется тензором напряжений и обозначается буквой В матричной форме этот тензор имеет следующий вид:

Скалярные компоненты являются нормальными напряжениями, а компоненты определяют касательные напряжения.

3) Тензор является симметричным тензором Это утверждение носит название теоремы взаимности. Подобно тому, как из принципа Даламбера для сил непосредственно следовал тот факт, что напряженное состояние описывается тензором теорема взаимности является прямым следствием принципа Даламбера, записанного для моментов сил.

Для доказательства этого рассмотрим равновесие малого равностороннего тетраэдра. Напишем условие равенства нулю моментов относительно вершины тетраэдра, учитывая при этом только малые второго порядка:

или

где радиусы-векторы центров тяжести граней тетраэдра, радиус-вектор центра тяжести грани

Умножим обе части равенства на векторно слева и вычтем из результата равенство ; тогда

Обозначим через проекцию вектора на ось В силу симметрии очевидно, что

Таким образом, кроме того,

Принимая все это во внимание, мы приведем равенство к виду

Умножим это равенство скалярно на Заметим, что поэтому, полагая последовательно мы получаем следующие равенства:

Раскрывая смешанные произведения, мы получаем равенства

что и требовалось доказать.

4) Рассмотрим частный случай идеальной жидкости, т. е. жидкости, в которой касательные напряжения отсутствуют. Это означает, что вектор напряжения коллинеарен вектору нормали. Положим

где некоторый скаляр. Подставим это равенство в формулу ; тогда

Умножая это равенство скалярно на ), мы получаем

Итак, величина нормального давления в идеальной жидкости не зависит от ориентировки площадки. Величина в идеальной жидкости называется гидростатическим давлением. Тензор в этом случае имеет следующий вид:

где единичный тензор.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление