Главная > Гидродинамика > Теоретическая гидродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Вывод кинематического условия на свободной поверхности.

Пусть уравнение свободной поверхности волны (поверхность задано в форме

Рис. 1

Напишем условие неразрывности для объема ограниченного сверху поверхностью в момент времени снизу поверхностью которая представляет собой геометрическое место вершин отрезков длиной I, отложенных по нормали к поверхности волны, и боковой поверхностью, образованной отрезками нормалей к поверхности волны, проведенных в точках некоторого замкнутого контура, построенного на поверхности (см. рис. 1).

В момент времени точки поверхности волны будут удовлетворять уравнению

или

Здесь индексом обозначены точки поверхности волны в момент времени

Вычислим изменение объема за время за счет деформации поверхности (поверхность предполагается неизменной):

где приращение отрезка I за время в точке Вычислим его длину.

Вершина отрезка точка должна удовлетворять, во-первых, уравнению , а во-вторых, уравнению нормали:

Если отбросить члены второго порядка малости, то из уравнений и можно вычислить величины в результате находим следующие соотношения:

где

Таким образом,

Поэтому приращение объема равно

Изменение массы в объеме может быть компенсировано, во-первых, за счет притока жидкости через поверхность и через боковую поверхность во-вторых, за счет изменения плотности жидкости. Принимая во внимание знак нормали, мы получаем следующее равенство:

Второе и третье слагаемые в правой части полученного равенства имеют порядок Следовательно, переходя к пределу при и принимая во внимание, что поверхность произвольна, мы получаем условие неразрывности в следующем виде:

Нетрудно убедиться, что условие и условие приведенное в тексте гл. 3, тождественны. В самом деле,

Используя выражение мы получаем

Итак, кинематическое условие на свободной поверхности состоит в том, что эта поверхность является интегралом движения.

Если поверхность жидкости задана уравнением

то условие заменится следующим:

Приведенный здесь вывод показывает, что кинематическое условие, которое должно выполняться на свободной поверхности, представляет собой простое следствие гипотезы неразрывности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление