Главная > Гидродинамика > Теоретическая гидродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

20.80. Течения, зависящие от времени.

Рассмотрим некоторое течение, зависящее от времени и от одной пространственной координаты расстояния от фиксированного начала координат.

Рис. 366.

Обозначим через скорость в направлении возрастания Тогда уравнения движения и неразрывности примут вид

где для одномерного течения (например, течение вдоль трубы); для двумерного течения с круговой симметрией (например, плоский источник) и для трехмерного течения со сферической симметрией (например, случай пространственного источника). Сделав замену переменных (предложенную Риманом)

получим

Тогда уравнения (1) и (2) можно записать так:

Сложение и вычитание этих уравнений дает

Как и в п. 20.70, представим себе, что плоскость покрыта двумя семействами ортогональных кривых Пусть являются соответственно элементами дуг кривых в точке и пусть касательная в точке к кривой С образует угол а с осью (рис. 366). Тогда

и, следовательно,

Таким образом, уравнение (4) эквивалентно уравнению

Это уравнение не позволяет определить нормальную производную если направление кривой С выбрать так, чтобы вдоль С выполнялось уравнение

или

Тогда наше уравнение примет вид

Итак, в плоскости разрывы нормальной производной от функции со перемещаются в направлении, нормальном к кривым С, со скоростью определяемой формулой (6). Это означает, что в физической плоскости эти разрывы распространяются со скоростью т. е. относительно газа со скоростью с. Следовательно, в соответствии с определением из п. 20.41 характеристиками здесь будут точки окружности или сферы в соответствии с

Аналогичное исследование, проведенное с уравнением (5), показывает, что разрывы нормальной производной от функции перемещаются со скоростью . Это определяет второе семейство характеристик.

Из формул (3) видно, что полученные выше результаты имеют место всегда, когда величина является положительной. Следовательно, в рассматриваемом случае характеристики существуют как в дозвуковом, так и в сверхзвуковом течении.

В случае одномерного течения из уравнения (4) и (5) сразу же получим результаты Римана, а именно: 1) величина остается постоянной для некоторой геометрической точки, движущейся со скоростью величина остается постоянной для некоторой геометрической точки, движущейся со скоростью . В дозвуковом течении эти две скорости имеют противоположное, а в сверхзвуковом течении — одинаковое направление.

ПРИМЕРЫ К ГЛАВЕ 20

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление