Главная > Гидродинамика > Теоретическая гидродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

19.82. Уравнения в естественных координатах.

Рассмотрим в установившемся плоском движении линию тока и ее ортогональную траекторию (рис. 339).

Оси координат в точке О направим по касательной и по нормали к линии тока. Уравнения движения в естественных координатах для невязкой жидкости были даны в п. 4.25. Чтобы получить аналогичные уравнения для вязкой жидкости, надо в правые части уравнений из п. 4.25 добавить члены, соответствующие где угол наклона касательной линии тока в точке к оси

Рис. 339.

Нам потребуются значения некоторых величин в точке О, где Пусть элементы дуг и а к, и соответствующие кривизны в точке тогда при

Кроме того,

следовательно, дифференцируя последние выражения и полагая затем получаем

Далее, если некоторая функция от х и у, то

Таким образом, в точке О имеем

Отсюда, помня, что после дифференцирования надо положить находим

Действительная и мнимая части этого выражения и представляют собой нужные нам члены. Итак, получим следующие уравнения движения в естественных координатах:

где потенциал внешних сил.

К этим уравнениям надо присоединить еще уравнение неразрывности, которое (при ) будет иметь вид

или

а для несжимаемой жидкости

В соответствии с п. 4.20 вихрь будет равен

Уравнение (1) с помощью уравнений (3) и (4) можно записать в форме

Отсюда, интегрируя вдоль линии тока от до получим

Для жидкости с малой вязкостью значение мало, и, таким образом, величина представляет собой меру, определяющую область применимости уравнения Бернулли в качестве первого приближения. В частности, на границе тела и поэтому

Последний результат имеет место также в том случае, когда линии тока представляют собой прямые, так как при этом кривизны равны нулю.

В приближении теории пограничного слоя уравнение (1) вблизи стенки сведется к следующему:

при условии, что кривизны не являются большими; тогда

В этом же приближении уравнение (2) примет вид

Исключая из уравнений (6) и (7) величину и используя уравнение (3), будем иметь

Значит, внутри пограничного слоя

где А не зависит от и равняется, таким образом, значению на границе тела.

Если постоянная величина, то, интегрируя это уравнение один раз, получаем

Последнее уравнение допускает дальнейшее интегрирование в эллиптических функциях.

ПРИМЕРЫ К ГЛАВЕ 19

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление