Главная > Гидродинамика > Теоретическая гидродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

19.32. Течение в трубе.

Пусть вязкая несжимаемая жидкость находится в установившемся движении в цилиндрической трубе произвольного поперечного сечения, ось которой направлена по оси Уравнение неразрывности показывает, что в этом случае скорость не должна зависеть от если только нет составляющих скорости, перпендикулярных к оси трубы. Тогда можно положить

где является функцией только от х и у. Уравнение движения при этом будет иметь вид

откуда

Обозначим через градиент давления вдоль трубы в направлении течения. Этот градиент представляет собой постоянную величину» поскольку Положив

из последнего уравнения получим

Поскольку на границе то уравнения (1) и (2) показывают, что является функцией тока для невязкой несжимаемой жидкости, которая заполняет цилиндр такого же поперечного сечения, что и рассматриваемая труба, и вращается вокруг его оси с угловой скоростью Следовательно, данная задача становится аналогичной задаче, изученной в п. 9.70.

Рассмотрим случай трубы, поперечное сечение которой представляет собой эллипс

согласно п. 9.71, имеем

так что

Чтобы на эллипсе (3), надо принять

тогда

Расход жидкости будет равен где интеграл берется по всему поперечному сечению трубы.

Для того чтобы вычислить этот интеграл, заметим, что для эллипса, заданного уравнениями подинтегральная функция будет а площадь между этим эллипсом и эллипсом, соответствующим значению будет равна Следовательно,

а

где площадь поперечного сечения трубы.

Отсюда средняя скорость в поперечном сечении будет равна

и, следовательно,

Для трубы, поперечное сечение которой представляет собой круг радиуса с, имеем

где — расстояние от оси трубы.

Если положить и взять так, чтобы эллиптическое и круговое сечения трубы имели одинаковую площадь, то отношение расходов через эти сечения будет причем это отношение меньше единицы. Таким образом, расход вязкой жидкости через трубу кругового сечения больше, чем расход через трубу эллиптического сечения с той же площадью.

Измерение расхода через круговые трубы доказывает, что предположение о прилипании жидкости на стенке является обоснованным. Действительно, наличие скольжения увеличивало бы расход жидкости на некоторую величину, и это нарушило бы справедливость выведенной выше формулы, показывающей, что расход изменяется как четвертая степень диаметра трубы.

Результаты измерения расхода через трубу позволяют также создать метод определения коэффициента вязкости

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление