Главная > Гидродинамика > Теоретическая гидродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

18.50. Уравнение, которому удовлетворяет функция тока.

Взяв вихрь от выражения (3) п. 3.43, будем иметь

В случае осесимметричного движения

где представляют собой единичные векторы, из которых два лежат в меридиональной плоскости, а один перпендикулярен к этой плоскости. Значит, поэтому по формуле (4) из п. 2.72, полагая получаем

и, следовательно, уравнение (1) примет вид

Если воспользоваться уравнением неразрывности из п. 15.10

то получим

Таким образом, введя функцию тока, будем иметь

Для установившегося движения отсюда получим

Это равенство показывает, что является функцией от скажем,

Уравнение (3) представляет собой соотношение, которому должен удовлетворять вихрь, для того чтобы движение было установившимся (см. п. 4.41). Далее,

где

Таким образом, из выражения (2) мы получаем уравнение, которому должна удовлетворять функция тока, а именно уравнение

Если движение является установившимся, то из соотношений (3) и (4) получается более простое уравнение:

Представив величину в полярных координатах, по формуле (5) из п. 2.72 получим

Таким образом, если известна, то функция определяется этим дифференциальным уравнением. Сделаем самое простое предположение о виде этой произвольной функции, т. е. примем, что является постоянной величиной.

Тогда можно искать решения вида

что приводит к уравнению

Для того чтобы найти функцию положим это дает Такая же подстановка дает частный интеграл

Итак, имеем решение

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление