Главная > Гидродинамика > Теоретическая гидродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

18.20. Выражение скорости через вихрь.

Рассмотрим жидкость, заключенную внутри неподвижной оболочки и предположим, что в каждой

точке задан вихрь В тех областях жидкости, где движение является безвихревым (если такие области вообще существуют), будем иметь

Если — единичный вектор внутренней нормали для элемента поверхности то граничное условие имеет вид

Возьмем некоторую точку внутри жидкости и будем считать эту точку фиксированной. Скорость в точке будем обозначать через а скорость в точке любая другая точка в жидкости) — через Рассмотрим вектор

где интеграл берется по объему V, заключенному внутри поверхности а точка остается при этом фиксированной (рис. 325).

Рис. 325.

Здесь при дифференцировании мы будем иногда рассматривать как фиксированную точку, как переменную, иногда же, наоборот, мы будем рассматривать как фиксированную точку, а — как переменную. Поэтому временно заменим символ V обозначениями или в соответствии с тем, какой случай рассматривается. Элементарный объем всегда будет

Тогда, согласно уравнению Пуассона из п. 18.10,

и, следовательно, с помощью формулы (V) из п. 2.32 получим

Но не зависит от положения точки поэтому

поскольку представляет собой скорость в точке вызванную единичным стоком, находящимся в точке -скорость в точке вызванную единичным стоком, находящимся в точке Эти две скорости являются равными по величине, но противоположно направленными векторами. Далее, в силу формулы (VI) из п. 2.34 имеем

а из уравнения неразрывности следует, что Поэтому

согласно уравнению (1). Значит, равенство (3) дает

где представляет собой векторный потенциал, определяемый так:

Таким образом, скорость получается как вихрь от векторного потенциала подобно тому, как в безвихревом течении она получается как градиент от скалярного потенциала скорости.

Найдем векторный потенциал По определению и по формуле (VII) из п. 2.34 имеем

Здесь четвертое выражение получено с помощью вторичного применения формулы (VII) из п. 2.34, а последнее — по теореме Гаусса в форме (2) из п. 2.61. Выведенная формула дает выражение векторного потенциала через вихрь и скорость на границе

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление