Главная > Гидродинамика > Теоретическая гидродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

14.85. Точная линейная теория.

Этот термин мы применяем к теории волн малого наклона, получаемой по точному методу п. 14.84. Если малая величина первого порядка, то мы имеем следовательно,

— также малая величина первого порядка.

Таким образом, с точностью до величины первого порядка малости имеем

Поэтому нелинейное интегральное уравнение (21) п. 14.84 сводится к однородному линейному интегральному уравнению

Если в этом случае положить то получим

и, следовательно, является решением тогда и только тогда, когда Таким образом, уравнение (1) имеет собственные значения

и соответствующими собственными функциями будут

Ввиду того что полный круг у на рис. 285 соответствует одной волне, мы должны положить [см. п. 14.84, замечание (VI)] и тогда

где малая величина первого порядка. Тогда из формулы (12) п. 14.84 мы найдем, что с точностью до величины первого порядка все величины обращаются в нули, за исключением следовательно, все величины а, обращаются в нули, за исключением

Таким образом, из второго уравнения (6) п. 14.84 на свободной поверхности следует

Если взять разность значений у при (в гребне) и (во впадине), то найдем, что высота волны выражается формулой и, следовательно,

Возвращаясь к формулам (6) п. 14.84, найдем параметрические уравнения для профиля волны

Это — трохоида, а не синусоидальная кривая, как в обычной линейной теории, рассмотренной ранее в этой главе (см. волна Герстнера, волна Джона).

Можно ввести амплитуду а, положив

Чтобы найти скорость распространения, положим в формуле (6) п. 14.84

Тогда получим

Сравнивая эту формулу с формулой полученной по обычной теории, мы видим, что они согласуются при малых значениях и замечаем, что скорость поверхностных волн на глубокой воде увеличивается с увеличением отношения амплитуды к длине волны.

Для вычисления кинетической энергии воспользуемся формулой (22) п. 14.84. Из формулы (4) п. 14.84 имеем

здесь площадь единичного круга равна . Следовательно, использование формул (3), (5), (6) дает

Эта величина отличается от величины, найденной в п. 14.20, на показательный множитель.

Для потенциальной энергии из формулы (4) мы имеем

Таким образом, при используемых здесь данных

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление