Главная > Гидродинамика > Теоретическая гидродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

13.60. Конформное отображение.

Пусть в точке плоскости существует вихрь и пусть точка в плоскости соответствует точке при конформном отображении

Обозначим через у некоторую замкнутую кривую, содержащую малую окрестность точки а через с — некоторую кривую, являющуюся отображением кривой у и, следовательно, охватывающую точку (рис. 254). Если функция

является комплексным потенциалом некоторого безвихревого течения жидкости в плоскости то будет существовать соответствующее ему безвихревое течение в плоскости которое получится исключением из формул (1) и (2). При этом величины в соответствующих точках будут равны. Следовательно, будут равны и циркуляции вдоль кривых у и с, т. е.

Таким образом, если в точке существует вихревая нить интенсивности х, то в соответствующей ей точке также будет существовать

вихревая нить интенсивности х. Однако ниоткуда не следует, что при движении эти нити будут оставаться в точках, соответствующих друг другу при конформном отображении. Тем не менее если мы знаем движение одной вихревой нити, то можем определить движение другой с помощью теоремы Рауса. Эту теорему можно получить следующим образом.

Рис. 254.

Обозначим через С, координату точки а через координату точки (рис. 254). Предположим, что преобразование (1) конформно отображает внешность профиля А в плоскости на внешность цилиндра С или круга в плоскости С (см. рис. 109).

Метод конформного отображения позволяет нам установить соответствие между течениями в этих двух плоскостях с помощью их функций тока, например:

Если одна из этих функций задается, то другая определяется из последнего равенства.

Если единственной особенностью в области течения в плоскости является вихрь интенсивноси х в точке следовательно, вихрь интенсивности х в точке то траектория вихря в плоскости С задается функцией определяемой формулой (12) п. 13.50. Эта формула с очевидным изменением обозначений имеет вид

где функция у задается формулой (5) п. 13. 50 в виде

Тогда в плоскости мы имеем

где неизвестная функция, имеющая особенность в области течения только в точке и обладающая свойством симметрии (см. формулу (4) и. 13.50]. С другой стороны, функции являются функциями тока, одна переходит в другую при конформном преобразовании (1). Следовательно. функции принимают одни и те же значения в соответствующих точках. Таким образом, вычитая из функции функцию у. получаем

Следовательно, устремляя к получаем равенство

Это равенство определяет функцию через известную функцию у; следовательно, траектория вихря в плоскости задается равенством где

Это и есть утверждение теоремы Рауса.

В качестве иллюстрации теоремы найдем траекторию вихря интенсивности х, движущегося в плоскости около плоской пластины Такая пластина отображаемся на окружность преобразованием Жуковского

Но соответствующая задача для круга уже решена [см. формулу (14) п. 13.50]. и мы воспользуемся этим решением. Для простоты (положим так что если то

Таким образом, в плоскости получим

причем

Траектория вихря определяется равенством На это течение можно наложить равномерный поток и циркуляцию вокруг пластины [см. формулу (16) п. 13. 50]. Решение такой задачи не представляет дополнительных трудностей.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление