Главная > Гидродинамика > Теоретическая гидродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10.80. Канал с разветвляющимся руслом.

На рис. 188 изображен канал с разветвляющимся руслом, причем стенки основного и ответвляющегося русла являются прямыми параллельными линиями. Стенки ответвления образуют угол а со стенками основного канала.

Ширина канала и его ответвления обозначены соответственно через скорость течения в бесконечности в верхнем бьефе основного канала равна Наша задача состоит в определении скоростей течения нижнем бьефе основного канала и в его ответвлении.

Линия тока идущая из бесконечности, разветвляется в критической точке С на две линии, и Жидкость слева от втекает в

ответвление, а справа от течет по основному каналу. На линии тока поток претерпевает резкое изменение направления в точке где скорость соответственно обращается в бесконечность.

Отобразим теперь внутреннюю область канала на плоскость так, чтобы точка перешла в бесконечность, а точка С перешла в точку

Рис. 188.

Пусть точкам , соответствуют точки с соответственно. Заметим, что границе основного канала соответствуют отрицательные значения С.

Рассмотрим теперь формулу

Вдоль сторон основного канала вдоль сторон ответвления . В точке С имеем следовательно, величина обращается в бесконечность в этой точке. Таким образом, в комплексной плоскости мы получим область, изображенную на рис. 189.

Рис. 189.

Отображая плоскость на плоскость согласно п. 10.32, получим

В этом случае мы имеем следующее соответствие между величинами и :

Таким образом, получаем

Для построения соответствующей области в плоскости примем, что прямой соответствует линия Тогда получим

поэтому

Этот результат можно получить также из уравнения неразрывности.

Положив в точке , получим, что в точках и .

Рис. 190.

Таким образом, мы получаем требуемую область, которая изображена на рис. 190.

Для отображения плоскости на плоскость находим

отсюда, интегрируя и делая небольшие преобразования, получаем формулу

Далее на линии функция а величины имеют одинаковый знак. Поэтому соответствующие значения логарифмов будут действительными и величина также должна быть действительной. Кроме того, в точке С. Таким образом, константа должна быть величиной чисто мнимой. Отсюда заключаем, что полагая получаем

Наконец, вдоль линии имеем в то время как величина положительна, а величины принимают отрицательные значения. Поэтому

Отсюда и из формулы (3) имеем

следовательно,

Далее, из формулы (1) получаем

из формулы (4) находим

отсюда путем деления получим производную как функцию величины Теперь уже обычным путем определяем выражение которое дает распределение скоростей в зависимости от

Так как при то производная также обращается в нуль при следовательно, из формулы (6) имеем

Рис. 191.

Отсюда, применяя формулы (3) и (2), находим

или

Пусть тогда

Первый из этих результатов получается из формулы (3). Подстановка двух последних соотношений в формулу (7) дает равенство

В рассматриваемой задаче величины а являются заданными, а значение х приближенно определяется из последнего трансцендентного уравнения.

Применение принципа отражения показывает, что полученное решение дает возможность решить задачу о прямолинейном канале с двумя ответвлениями в точках (рис. 191). В данном случае начало координат удобнее перенести в среднюю точку отрезка

ПРИМЕРЫ К ГЛАВЕ 10

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление