Главная > Гидродинамика > Теоретическая гидродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9.63. Комплексный потенциал движущегося цилиндра.

Обозначим через С контур поперечного сечения цилиндра, который совершает двумерное движение в безграничной жидкости, покоящейся на бесконечности. Циркуляция около цилиндра отсутствует. Движение цилиндра определяется угловой скоростью и скоростью точки О поперечного сечения цилиндра, причем скорость направлена под углом а к оси х (рис. 169). Предположим, что область вне цилиндра С в плоскости (система координат имеет начало в точке О, связанной с цилиндром) может быть конформно отображена на внешность единичной окружности в плоскости комплексной переменной с помощью функции

причем бесконечно удаленная точка переходит в бесконечно удаленную точку плоскости Тогда для жидкости, покоящейся на бесконечности, комплексный потенциал не может содержать положительных степеней в разложении в степенной ряд по

Рис. 169.

Кроме того, на границе С цилиндра функция тока удовлетворяет соотношению [см. формулу (4) п. 9.40)

Обозначим точку на единичной окружности через о, тогда

Следовательно, на единичной окружности формула (2) принимает вид

Функцию удобно назвать граничной функцией. Если разложить ее в ряд по , то можно записать

где функция содержит все отрицательные спепени о и не содержит неотрицательных степеней. Таким образом, функция является аналитической вне единичного круга и обращается в нуль на бесконечности.

Граничные условия (4) можно записать теперь в виде

Умножая это равенство на и интегрируя по окружности единичного круга у, получаем

Далее, функции являются аналитическими вне у, в то время как функции аиалитичны внутри у. Следовательно, если точка лежит вне окружности у, то, применяя формулу Коши найдем, что второй и четвертый интегралы обращаются в нуль. Вычисляя первый и третий интегралы, получаем равенство

Так как функция содержит только отрицательные степени то условие обращения скорости в нуль на бесконечности также удовлетворено.

Чтобы показать, что найденная скорость жидкости всюду физически допустима, рассмотрим соотношение

Преобразование (1) является конформным во всех точках вне контура, поэтому в жидкости не существует нулей функции и скорость жидкости всюду конечна.

Итак, с помощью преобразования (1) мы составляем граничную функцию (2), отделяем члены с отрицательными степенями которые стремятся к нулю, когда . В результате получаем комплексный потенциал (8) как функцию

Если бы удалось с помощью формул (1) и (8) исключить то мы получили бы, конечно, комплексный потенциал как функцию Но во многих случаях проводить такое исключение или невозможно, или нежелательно.

Наконец, мы можем получить комплексный потенциал обтекания цилиндра, положив в формуле и наложив противоположно направленной поток со скоростью . В результате этого можно получить соотношение

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление