Главная > Гидродинамика > Теоретическая гидродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.29. Применение конформного отображения.

Рассмотрим конформное отображение плоскости на комплексную плоскость с помощью функции

Пусть при этом область внешняя по отношению к контуру С в плоскости переходит в область внешнюю по отношению к контуру А в плоскости Тогда контур С переходит в контур А (рис. 109).

Пусть течение жидкости в области плоскости задается комплексным потенциалом

Тогда в соответствующих точках связанных соотношением (1), функция следовательно, функции имеют те же значения.

Далее, контур С является границей и вследствие этого линией тока течения в плоскости Следовательно, во всех точках

контура С. Так как точки контура А отображаются в точки контура С, то во всех точках контура А. Следовательно, контур А является линией тока течения, определяемого в плоскости функциями (1) и (2).

Рис. 109.

Явный вид комплексного потенциала в плоскости можно было бы получить путем исключения из формул (1) и (2), но часто предпочтительнее рассматривать в качестве параметра и воздерживаться от исключения. Так, например, для определения скорости в точке плоскости соответствующей точке плоскости мы имеем равенство

Следовательно,

Пусть через и обозначены скорости в точках соответственно. Тогда имеет место равенство

Пусть через обозначены соответствующие элементы площади в точках Так как отображение конформно, то мы знаем, что элементы подобны и что отношение соответствующих длин в элементах равно Таким образом,

и, следовательно,

отсюда следует равенство

в котором интегралы берутся по соответствующим площадям. Но эти интегралы измеряют кинетическую энергию жидкости, занимающей соответствующие площади. Таким образом, кинетическая энергия в обоих движениях одна и та же.

Теперь мы видим применение конформного отображения в гидродинамике. Если мы знаем комплексный потенциал движения жидкости, заданный выражением (2), и если мы затем отобразим плоскость на плоскость с помощью функции (1), то получим комплексный потенциал движения жидкости в плоскости При этом границами движения в плоскости будут линии, связанные выражением (1) с границами движения в плоскости С. Линни тока в одной плоскости переходят в линии тока в другой плоскости, а скорости в соответствующих точках связаны равенством (3).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление