Главная > Гидродинамика > Теоретическая гидродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.22. Потенциальное обтекание кругового цилиндра.

Рассмотрим течение с комплексным потенциалом Если мы поместим в это течение цилиндр то в силу теоремы об окружности комплексный потенциал нового течения будет иметь вид

Следовательно, функция является комплексным потенциалом обтекания кругового цилиндра потоком жидкости, скорость на бесконечности которого равна и направлена вдоль отрицательной оси х. Вообще, такое течение называют обтеканием цилиндра однородным потоком. Действительно, поток испытывает возмущение только из-за присутствия цилиндра и остается однородным на большом расстоянии от него. Введенный термин оказывается удобным для наглядного представления течения.

В более общем случае если мы поместим цилиндр в однородный поток с комплексным потенциалом то в силу теоремы об окружности новое течение описывается комплексным потенциалом

Если центр цилиндра находится в точке то с помощью простого переноса начала координат мы получим выражение для комплексного потенциала этого течения в виде

Найдем уравнение линий тока течения, описываемого потенциалом (1). Так как то

где

Полагая мы приходим к уравнениям

из которых следует, что линии тока, соответствующие функциям являются прямыми, параллельными оси х, и окружностями, касающимися оси х в начале координат. Задавая параметрам тип значения с помощью метода Рэнкина можно построить картину линий тока (см. п. 4.32).

Линии тока этого течения симметричны относительно оси у, так как вид уравнений линий тока не изменяется при изменении знака переменной х. Из соображений симметрии следует, что линии тока, лежащие над осью х, получаются отражением относительно этой оси линий тока, лежащих под осью х.

Если изменить направление скорости на обратное, то картина течения не изменится.

Если положить то уравнения линий тока примут вид

Легко видеть, что при следовательно, прямые являются асимптотами линий тока. Кроме того, если то т. е. линии тока приближаются к своим асимптотам сверху.

С другой стороны, рассмотрим линии тока, асимптоты которых задаются уравнениями

Пусть координаты точек пересечения этих линий с осью Тогда

Если из первого равенства вычесть второе, то после преобразований мы найдем, что

Так как правая часть этого равенства положительна и больше единицы, то мы заключаем, что Но на бесконечности расстояние между этими линиями равно а. Следовательно, проходя около цилиндра, линии тока сближаются. Так как через каждое сечение трубки тока должна проходить одна и та же масса жидкости, то скорость жидкости на данной линии тока около цилиндра больше, чем скорость на бесконечности, и вследствие теоремы Бернулли давление меньше давления на бесконечности, если отсутствуют внешние силы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление