Главная > Гидродинамика > Теоретическая гидродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.71. Отображение бесконечных областей.

В большинстве приложений конформного отображения к гидродинамике одна или обе рассматриваемые области простираются до бесконечности. Поэтому важно иметь ясное представление о том, что составляет «внутреннюю часть» области. Для объяснения этого рассмотрим отображение области плоскости ограниченной дугами окружностей и радиусами (рис. 98), задаваемое функцией

Полагаем Тогда

Таким образом, если точка движется вдоль то и точка движется вдоль прямой Если точка движется вдоль то точка движется вдоль

Если точка движется вдоль дуги то точка движется вдоль дуги наконец, если точка движется вдоль дуги то точка движется вдоль дуги

Ясно, что условия и для отображающей функции выполняются, так как начало координат, в котором производная от функции обращается в нуль, исключена из рассматриваемой области. Таким образом, отображение является взаимно однозначным и непрерывным.

Рис. 98.

Внутренняя часть секторной области плоскости конформно отображается на внутреннюю часть области, заключенную между полуокружностями в плоскости

Кроме того, направление обхода сохраняется на обеих плоскостях, поэтому отображаемые области находятся слева, когда контуры обходятся в указанных направлениях. Эти утверждения остаются верными при любом увеличении величины следовательно, полагая и отмечая точки в бесконечности индексами мы получим области, изображенные на рис. 99, где штриховкой отмечены внешние области. Это показывает, что внутренняя часть бесконечной секторной области отображается на верхнюю половину плоскости и теперь понятие внутренней части области означает предельную форму конечного случая и таким же образом связывается, как и прежде, с направлением обхода.

Рис. 99.

Выброшенная часть области в начале координат может быть теперь устранена, если величину а устремить к нулю.

Для уяснения смысла понятий «внутренний» и «внешний» при отображении бесконечных областей, вообще говоря, пригодны те простые соображения, которые указаны выше; действительно, уже одно знание направления обхода дает требуемые сведения.

ПРИМЕРЫ К ГЛАВЕ 5

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление