2.4. ÃÐÀÄÈÅÍÒÍÀß È ÔÓÍÄÀÌÅÍÒÀËÜÍÀß ÌÀÒÐÈÖÛ
Ñèñòåìà íàâèãàöèîííûõ óðàâíåíèé, ðåøàåìàÿ îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàò è ñêîðîñòíûõ ñîñòàâëÿþùèõ, çàïèñûâàåòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì âûðàæåíèé íàâèãàöèîííûõ ôóíêöèé. Îáû÷íî ýòè óðàâíåíèÿ íåëèíåéíûå. Äëÿ ëèíåàðèçàöèè ðåøàåìûõ óðàâíåíèé ïðèìåíÿþò ðàçëîæåíèå ôóíêöèé
â ðÿä â îêðåñòíîñòÿõ ðàñ÷åòíûõ çíà÷åíèé èõ àðãóìåíòîâ ïî ñòåïåíÿì ìàëûõ îòêëîíåíèé îïðåäåëÿåìûõ ïàðàìåòðîâ. Ïðè òàêîì ðàçëîæåíèè â óðàâíåíèÿ âîéäóò ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå òèïà
Ïðåäñòàâèì ïðîèçâîäíóþ
â âèäå
ãäå
ñèñòåìà íåêîòîðûõ ïðîìåæóòî÷íûõ êîîðäèíàò, è ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷åííûå ñîâîêóïíîñòè ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ òèïà
×àñòíûå ïðîèçâîäíûå òèïà
îáðàçóþò ìàòðèöó-ñòðîêó
êîòîðàÿ õàðàêòåðèçóåò èçìåíåíèå íàâèãàöèîííîé ôóíêöèè ñ èçìåíåíèåì òåêóùèõ êîîðäèíàò Ï è íàçûâàåòñÿ ãðàäèåíòíîé ìàòðèöåé 1-ãî ðîäà. Ýòî íàçâàíèå îòðàæàåò ñëåäóþùóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ òèïà (2.9). Ó÷òåì, ÷òî ñâîéñòâà ïîâåðõíîñòåé ïîëîæåíèÿ
ìîæíî õàðàêòåðèçîâàòü ãðàäèåíòàìè
Ïðèìåì çà ïðîìåæóòî÷íûå ãåîöåíòðè÷åñêèå êîîðäèíàòû
è ïðåäñòàâèì ïðîèçâîäèë
èëè, èñïîëüçóÿ (2.6), â âèäå
Ïîñëåäíèå ñîîòíîøåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ðàññìàòðèâàåìîãî òèïà âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ìîäóëü ãðàäèåíòà è íàïðàâëÿþùèå êîñèíóñû, îïðåäåëÿþùèå îðèåíòàöèþ ãðàäèåíòà ïîâåðõíîñòè ïîëîæåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, îíè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êîìïîíåíòû ãðàäèåíòà ïîâåðõíîñòè ïîëîæåíèÿ, à èõ ñîâîêóïíîñòü èìååò çíà÷åíèå ãðàäèåíòíîé ìàòðèöû.
Îáðàòèìñÿ ê ÷àñòíûì ïðîèçâîäíûì âèäà
êîòîðûå õàðàêòåðèçóþò èçìåíåíèå ïðîìåæóòî÷íûõ êîîðäèíàò
ñ èçìåíåíèåì îïðåäåëÿåìûõ ïàðàìåòðîâ
Ñîâîêóïíîñòü èõ áóäåò âêëþ÷àòü 36 ýëåìåíòîâ, îáðàçóþùèõ êâàäðàòíóþ ìàòðèöó. Åñëè âûáðàòü â êà÷åñòâå ïðîìåæóòî÷íîé ñèñòåìû ãåîöåíòðè÷åñêèå ïðÿìîóãîëüíûå êîîðäèíàòû è èõ ïðîèçâîäíûå, à â êà÷åñòâå îïðåäåëÿåìûõ ïàðàìåòðîâ äâèæåíèÿ — êåïëåðîâû ýëåìåíòû, òî îáðàçóåòñÿ ìàòðèöà
Ýòó ìàòðèöó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñîâîêóïíîñòü ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ îò òåêóùèõ êîîðäèíàò è èõ ïðîèçâîäíûõ ÍÈÑÇ ïî íà÷àëüíûì óñëîâèÿì äâèæåíèÿ. Íàçûâàåòñÿ îíà ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöåé 1-ãî ðîäà.
Àíàëèç ôóíäàìåíòàëüíîé è ãðàäèåíòíîé ìàòðèö ïîçâîëÿåò âûÿâèòü îáùèå è âèäîâûå îñîáåííîñòè ìåòîäîâ íàâèãàöèè è ïóòåì îöåíêè òî÷íîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê ñðàâíèòü èíôîðìàòèâíîñòü ðàçëè÷íûõ ìåòîäîâ.
Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà äëÿ âñåõ íàâèãàöèîííûõ ìåòîäîâ áóäåò îäèíàêîâîé, ïîýòîìó ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî îíà âûðàæàåò îáùèå ñâîéñòâà ìåòîäîâ.
 ïðîòèâîïîëîæíîñòü ýòîìó ãðàäèåíòíàÿ ìàòðèöà áóäåò ñâîåé äëÿ êàæäîãî èç ìåòîäîâ, âñëåäñòâèå ÷åãî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî îíà îòðàæàåò âèäîâûå ñâîéñòâà ìåòîäîâ. Ýòà ìàòðèöà ïîêàçûâàåò, êàê áóäóò èçìåíÿòüñÿ íàâèãàöèîííûå ïàðàìåòðû ñ èçìåíåíèåì ãåîöåíòðè÷åñêèõ ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàò òî÷êè íàáëþäåíèÿ.
Îäèí èç ñïîñîáîâ îöåíêè òî÷íîñòíûõ ñâîéñòâ íàâèãàöèîííûõ ìåòîäîâ ñîñòîèò â èñïîëüçîâàíèè ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê, âû÷èñëÿåìûõ ÷åðåç ìàòðèöó ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ âèäà
Ñïåöèàëüíî ýòîò âîïðîñ ðàññìàòðèâàåòñÿ â ãë. 16.