Главная > Гидродинамика > Математические основы классической механики жидкости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Специальные вопросы

52. Трансзвуковое течение.

Течение газа называется трансзвуковым, если это течение в одной своей части является дозвуковым, а в другой — сверхзвуковым. В последнее время появилось много работ, посвященных исследованию различных задач теории трансзвуковых течений, однако недостаток места заставляет нас ограничиться одним из разделов этой теории. Рассматриваемый нами круг вопросов представляет значительный физический интерес; при этом выясняется также характерная математическая особенность течений в трансзвуковом режиме.

Рассмотрим обтекание неподвижного профиля плоским установившимся потоком идеального газа, однородным на бесконечности. Как было указано выше, существует единственное дозвуковое обтекание при из некоторого интервала причем при приближении к максимум местного числа Маха стремится к единице. Экспериментальные наблюдения показывают, что при дальнейшем увеличении вблизи препятствия развиваются местные сверхзвуковые зоны и, наконец, при некотором критическом значении числа Маха в сверхзвуковых зонах возникают ударные волны. Число Маха при котором впервые возникают ударные волны, определяется не вполне однозначно, однако всегда

Пользуясь методом годографа, можно построить ряд точных примеров трансзвуковых обтеканий профиля. Эти точные решения, несомненно имеющие большое значение, не могут гарантировать, однако, существования трансзвукового обтекания произвольного профиля; кроме того, ни одно из известных решений, полученных методом годографа, не дает нам непрерывного перехода от дозвукового к трансзвуковому обтеканию данного фиксированного профиля.

Можно было бы надеяться, что дальнейшие исследования укажут путь решения этих неясных вопросов, однако привлекательная гипотеза о предельной линии, предложенная для объяснения механизма возникновения ударных волн при увеличении в первоначально непрерывном околозвуковом обтекании фиксированного профиля, оказалась неправильной. Причину такого странного положения вещей объясняет теорема Никольского и Таганова:

Если в непрерывном потенциальном течении существует местная сверхзвуковая зона, примыкающая к дуге границы, то эта дуга должнй быть строго выпуклой.

Согласно этой теореме, доказательство которой будет приведено ниже, любое трансзвуковое обтекание является неустойчивым, так как его всегда можно разрушить сколь угодно малым изменением профиля, а именно заменой некоторого участка границы в сверхзвуковой области отрезком прямой или вогнутой дугой. Таким образом, естественным выводом из теоремы Никольского и Таганова является некорректность задачи о непрерывном трансзвуковом обтекании фиксированного профиля в рамках теории идеальной жидкости. Этот факт был замечен независимо друг от друга Франклем, Гудерлеем и Буземаном; точное доказательство неустойчивости трансзвукового обтекания опубликовано Моравец в 1957 году.

Объяснение исследуемого явления связано, по-видимому, с влиянием вязкости в пограничном слое. Внешняя граница пограничного

слоя предположительно принимает форму, соответствующую характеру невязкого течения вне пограничного слоя; при увеличении в некоторой точке внешней границы пограничного слоя кривизна становится очень большой и в течении возникает ударный разрыв. Это предположение подтверждается результатами работы Фридрихса, на которую мы ссылались выше. Линь считает, что задача о трансзвуковых течениях имеет решение для аналитических выпуклых профилей; если это действительно так, то на основе приведенных выше соображений о роли пограничного слоя мы получаем нечто вроде теоремы существования для трансзвуковых обтеканий профиля.

В соответствии с вышесказанным мы имеем основания считать, что вне пограничного слоя трансзвуковое течение является непрерывным. Некоторые сведения о возможном расположении местных сверхзвуковых зон можно получить из теоремы Никольского — Таганова; например, раньше всего скорость звука достигается на выпуклых участках профиля, там же раньше всего появляется скачок. Теорема применима также к местным сверхзвуковым зонам внутри плоского сопла и может быть использована для отыскания точки с числом Маха при околозвуковом обтекании клина.

Доказательство теоремы Никольского — Таганова мы разобьем на три части.

1. Пусть область течения разбивается на зоны, дозвукового и сверхзвукового течения звуковой линией С, на которой Тогда при обходе С, оставляющем сверхзвуковую зону справа, угол наклона вектора скорости монотонно уменьшается на С (рис. 9).

Рис. 9. Положение звуковой линии С.

Обозначим через соответственно длину дуги линии тока и линии С.

Тогда (см. рис. 9)

Так как на линии С выполняются условия то в силу уравнений (41.4) в естественных координатах соотношение (52.1) можно записать так:

Поскольку нормаль направлена в сторону зоны дозвукового течения, мы имеем и, следовательно, Утверждение леммы доказано.

В соответствии с этой леммой сверхзвуковая зона не может лежать внутри области течения, так как при полном обходе границы внутренней сверхзвуковой зоны мы получили бы противоречие с однозначной определенностью угла

2. Образ местной сверхзвуковой зоны 33, примыкающей к границе области течения, представляет собой однократное покрытие некоторой области плоскости годографа.

Рассмотрим характеристику с началом в некоторой точке расположенной на профиле в сверхзвуковой зоне. Эта характеристика кончается в некоторой точке А звуковой линии, так как она, очевидно, не может вернуться на профиль. Пусть переменная точка дуги и пусть обозначает точку пересечения звуковой линии с характеристикой выходящей из (см. рис. 10).

Рис. 10. Локальная сверхзвуковая зона. а — локальная сверхзвуковая зона в плоскости течения, б - образ локальной сверхзвуковой зоны в плоскости годографа.

В плоскости годографа образы этих точек имеют указанный порядок, так как Поэтому, когда точка проходит дугу от точки А к точке точка движется от А к В, а точка от А к Теперь легко видеть, что при перемещении А вдоль звуковой линии образ области на плоскости годографа покрывается однократно.

3. Переходим к доказательству непосредственного утверждения теоремы Никольского и Таганова. Пусть А обозначает образ дуги профиля на плоскости годографа. При

движении по кривой к (положительное направление отсчета угол должен монотонно убывать, так как в противном случае кривая пересекла бы некоторую характеристику дважды, а это невозможно в силу того, что оба конца характеристики не могут лежать на границе области течения. Следовательно, на дуге и рассматриваемая дуга границы должна быть выпуклой. (Дальнейшее исследование показывает, что эта дуга должна быть строго выпуклой, однако мы этого доказывать не будем, так как последнее утверждение не содержит существенно нового результата.)

Приведенные выше рассуждения показывают также, что образ сверхзвуковой зоны на плоскости годографа лежит в области, ограниченной характеристикой выходящей из точки и характеристикой выходящей из точки Таким образом, максимум модуля скорости не может превосходить определенного по формуле

уравнение характеристических кривых. Для тонких профилей углы мало отличаются друг от друга и, следовательно, величина скорости в местной сверхзвуковой зоне непрерывного течения не может быть велика.

Рис. 11. Локальная сверхзвуковая зона, ограниченная ударной линией.

Читатель может без труда убедиться, что результаты пунктов 1, 2 и 3 применимы в равной мере и к сверхзвуковой области показанной на рис. 11. Так как указанная

конфигурация по наблюдениям вполне устойчива, мы имеем здесь еще один пример той определяющей роли, которую играет пограничный слой в сглаживании неровностей профиля в трансзвуковом течении.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление