Главная > Гидродинамика > Математические основы классической механики жидкости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Теорема переноса.

Пусть произвольный объем, движущийся с жидкостью, скалярная или векторная функция точки. Тогда интеграл по объему

является вполне определенной функцией времени. Производная этой функции выражается следующей важной формулой:

Для доказательства равенства (4.1) выберем в качестве переменных интегрирования переменные связанные с соотношениями (3.1). При этом объем движущийся вместе с жидкостью в пространстве переменных х, перейдет в объем фиксированный в пространстве переменных состоит все время из одних и тех же частиц жидкости).

Якобиан указанной замены равен следовательно,

Так как в правой части от зависит только подинтегральная функция, мы видим, что

и равенство (4.1) сразу следует из формулы Эйлера (3.8).

Формуле (4.1) можно придать вид, который сделает более ясным ее кинематическое значение. В самом деле, подинтегральная функция в правой части равенства (4.1) в силу соотношения (3.6) может быть записана в виде

Применив теорему Гаусса — Остроградского (2.2), получим

Здесь обозначает граничную поверхность объема проекцию на направление внешней нормали к дифференцирование при фиксированном объеме 23. Равенство (4.2) отражает тот факт, что скорость изменения интеграла от величины заданной на материальном объеме 23, равна сумме скорости изменения интеграла от по фиксированному объему, совпадающему в момент с 23, и потока через граничную поверхность. Следует подчеркнуть, что равенства (4.1) и (4.2) выражают кинематическую теорему, не зависящую от характера величины

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление