Главная > Гидродинамика > Математические основы классической механики жидкости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

34. Термодинамика деформации.

Мы начнем с замечания, касающегося понятия давления. Первоначальное определение давления было введено в п. 6, и, согласно этому определению, давление является динамической переменной, описывающей свойства движения идеальной жидкости. Затем

в начале этой главы было введено понятие давления как термодинамической переменной. Характерной чертой динамики сжимаемой жидкости, или, короче, газовой динамики, является предположение, что термодинамическое давление равно динамическому давлению. Таким образом, в случае идеальной жидкости имеет место следующая формула для напряжений: справедливая как для сжимаемых, так и несжимаемых жидкостей. В первом случае представляет собой термодинамическую переменную, а во втором рассматривается как не зависящая от термодинамического состояния жидкости динамическая переменная.

В общем случае, когда пренебрегать касательными напряжениями нельзя, мы представим в виде

эту формулу следует рассматривать как определение тензора Для сжимаемой жидкости в соотношении (34.1) обозначает термодинамическое давление, для несжимаемой жидкости играет несущественную роль, и выбор значения этой неизвестной в зависимости от значения будет сделан далее так, чтобы уравнения движения имели возможно более простой вид (см. п. 59а). Во избежание ненужных оговорок, мы в дальнейшем будем рассматривать идеальную жидкость как частный случай, соответствующий формуле (34.1).

Подставив представление (34.1) тензора напряжений в уравнение (33.4), получим, что

где Воспользовавшись теперь уравнением неразрывности и соотношением (33.1) в случае сжимаемой жидкости или (33.2) в случае несжимаемой жидкости, мы приходим к следующему уравнению:

выражающему скорость изменения энтропии индивидуальной частицы жидкости через Заметим, что в силу равенства где обозначает отнесенное к единице массы жидкости количество теплоты, поглощенное жидкостью, из уравнения (34.3) следует также, что скорость поглощения теплоты, отнесенная к единичному объему, равна

Так как второй член представляет собой теплоту, полученную от соседних элементов жидкости, мы приходим, таким образом, к выводу, что величина определяет отнесенное к единице времени и объема количество теплоты, возникшее в результате деформации элементов жидкости. Выделение этой теплоты влечет за собой, конечно, расходование механической энергии, в силу чего носит название функции диссипации.

Разделив обе части уравнения (34.3) на и проинтегрировав полученное соотношение по объему, движущемуся с жидкостью, мы найдем, что

Это уравнение показывает, что предположение (33.5) налагает на и следующее ограничение:

В частности, это неравенство выполняется, если

Условия (34.4) являются математическим эквивалентом двух известных экспериментально установленных фактов: во-первых, теплота всегда передается от тел с большей температурой к телам с меньшей температурой, во-вторых, в процессе деформации механическая энергия может перейти в тепловую, но не наоборот. Легко видеть, что неравенство (33.5) в свою очередь можно вывести из неравенств (34.4), так что предположение (33.5) является прямым следствием простых физических наблюдений.

В термодинамике необратимых процессов одним из основных предположений является известный "закон линейности" Грубо говоря, этот закон утверждает, что термодинамическая система стремится к своему положению равновесия со скоростью, линейно зависящей от величины отклонения системы от положения равновесия. Несмотря на сомнительность этого предположения, представляется интересным

сформулировать два следствия "закона линейности". В нашем случае величина отклонения от положения равновесия измеряется величинами и следовательно, должны быть линейными функциями и Из различного (с точки зрения тензорного анализа) характера этих величин вытекает, что

Первый из этих результатов приводит к закону вязкости Коши — Пуассона, а второй — к известному закону Ньютона и Фурье. Однако эти рассуждения следует считать в значительной степени эвристическими, и их использование в выводе уравнений механики жидкости является некорректным.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление