Главная > Гидродинамика > Математические основы классической механики жидкости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Уравнение энергии

33. Сохранение энергии.

Как уже отмечалось в начале этой главы, к уравнениям движения жидкости нужно присоединить уравнение полной энергии. Мы определяем полную энергию объема как сумму кинетической энергии 2 и внутренней энергии этого объема, где

а величина представляет собой внутреннюю энергию, отнесенную к единице объема. Термодинамическая интерпретация существенно различна для сжимаемой и для несжимаемой жидкости: эти случаи соответственно будут рассматриваться отдельно. В случае сжимаемой жидкости мы полагаем, по определению, что величина есть термодинамическая переменная состояния, связанная с абсолютной температурой удельной энтропией и давлением следующим соотношением:

где обозначает, удельный объем (см п. 30). Следует отметить, что сформулированный постулат определяет давление жидкости как термодинамическую переменную, так что в общем случае

Для несжимаемой жидкости мы предположим, что вместо соотношения (33.1) выполняется более простое соотношение

Из уравнения (33.2) вытекает, что следовательно, давление никак не связано с термодинамическими свойствами несжимаемой жидкости и действительно представляет собой независимую величину.

Сформулированные выше аксиомы ни в коей мере не являются тривиальными или очевидными, если принять во внимание, что их предполагается применять к любому возможному движению жидкости. В подтверждение этих аксиом мы прежде всего отметим естественность и относительную простоту соотношения (33.1). Заметим далее, что для достаточно простых молекулярных моделей кинетическая теория приводит точно к такому же результату. Наконец, подтверждением правильности принятых гипотез служит тот факт, что все известные экспериментальные данные находятся в хорошем соответствии с теоретическими результатами, вытекающими из этих гипотез. Последний довод, видимо, не оставляет места сомнениям. Напомним в связи с этим замечание Джилбарга о том, что "уравнения часто остаются справедливыми при предположениях, менее ограничительных, чем предположения, принятые при их первоначальном выводе. Такого рода удача является в действительности одной из характерных черт теории в хорошем значении этого слова.

В связи с вышеизложенным представляется естественным принять в качестве аксиомы, следующий закон сохранения общей энергии:

Согласно этому уравнению, скорость изменения полной энергии объема, движущегося с жидкостью, равна сумме мощности сил, приложенных к объему, и количества теплоты, полученной объемом (отнесенного к единице времени). Вектор потока тепла имеет размерность энергии на единицу площади, отнесенную к единице времени, следовательно, размерность равна Связь этого вектора с другими механическими и термодинамическими переменными будет определяться впоследствии дополнительными предположениями относительно свойств рассматриваемой среды. При помощи обычных рассуждений, основанных на формуле (9.1), мы получим из уравнения (33.3) так называемое уравнение полной энергии, а именно уравнение

Как заметил Трусделл, это уравнение принадлежит К. Нейману.

Уравнение (33.3) соответствует первому закону термодинамики. По аналогии со вторым законом мы будем предполагать, что

Заметим в заключение, что сформулированные в этом пункте дополнительные предположения завершают систему постулатов, лежащую в основе механики сплошных сред. Дальнейшее развитие теории связано с частными предположениями относительно вида тензора напряжений, вектора потока тепла и уравнения состояния, связывающего термодинамические переменные.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление