Главная > Гидродинамика > Математические основы классической механики жидкости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

28. Поле ускорений и уравнение Бернулли.

Результаты, излагаемые в данном пункте, основаны на различных кинематических представлениях для Вывод этих общих формул и их применение принадлежат Трусделлу, хотя различные частные случаи были известны и раньше.

Применив оператор дивергенции к формуле (3.5), определяющей ускорение, и положив мы получим

или

Третье представление для используемое ниже, является следствием тождества (17.1):

Известно, что любое векторное поле можно разложить на сумму потенциального и соленоидального полей (см. [48], стр. 186); в частности, поле ускорений допускает представление в виде

Очевидно, что в случае баротропного течения

С другой стороны, для несжимаемой вязкой жидкости, удовлетворяющей уравнениям Навье-Стокса (68.2),

Подставив представление (28.4) в уравнения (28.2) и (28.3), мы получим, что для любого непрерывного движения

потенциал ускорений удовлетворяет следующим уравнениям Пуассона:

и

Так как второе уравнение выражает величину через другие параметры течения, его можно рассматривать как уравнение Бернулли. Уравнения (28.7) и (28.8) впервые получены Трусделлом, хотя в частных случаях они были приведены ранее Бобылевым и Роуландом.

При применении полученных результатов к динамике жидкости мы ограничимся случаем Рассмотрим сначала безвихревое движение. В этом случае из уравнений (28.2) и (28.3) получаем, что

следовательно максимум модуля скорости достигается на границе; этот факт уже упоминался выше Рассмотрим теперь движение жидкости, удовлетворяющее уравнению (28.5) или уравнению (28.6). В любом из этих случаев (поскольку мы можем записать уравнение (28.7) в виде так называемого уравнения давления:

Таким образом, в случае течений несжимаемой жидкости, как идеальной, так и вязкой, в консервативном поле внешних сил

1) в области, где , максимум величины достигается на границе;

2) в области, где минимум величины достигается на границе.

Если что выполняется, например, для случая поля сил тяжести и для случая отсутствия внешних сил, то оба эти утверждения справедливы также относительно самой величины давления

В частности, утверждение 2 справедливо для безвихревого движения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление