Главная > Гидродинамика > Математические основы классической механики жидкости
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

18. Теоремы Бернулли.

Уравнением Бернулли обычно называют один из первых интегралов уравнений движения. В зависимости от частных динамических или кинематических предположений относительно характера движения это уравнение принимает различные формы, однако во всех случаях основную роль играет величина

Мы рассмотрим в этом пункте различные формы уравнения Бернулли в случае баротропного течения идеальной жидкости.

Воспользовавшись формулой (17.1), мы можем записать основное уравнение (16.5) в виде

Предположим теперь, что течение установившееся; тогда, как легко видеть из уравнения (18.1), справедливо следующее утверждение.

Теорема Бернулли. Если в области установившегося баротропного течения идеальной жидкости то

В противном случае, если в области течения существует семейство поверхностей

причем на каждой из этих поверхностей в качестве координатной сетки можно выбрать вихревые линии и линии тока. В частности, на линиях тока.

Поверхности можно было бы называть поверхностями Ламба по имени их первого исследователя.

Почти такой же результат можно получить при более слабом предположении независимости от времени поля вектора завихренности, не предполагая заранее, что течение установившееся. В самом деле, то, применив оператор к соотношению мы получим

из чего следует, что поле скоростей также является установившимся. Этот основной случай уже был рассмотрен выше. Если то поле скоростей не обязательно будет установившимся, но в этом случае

и, следовательно, где некоторая потенциальная функция. Таким образом, при в области течения существует семейство поверхностей

на каждой из которых в качестве координатной сетки можно выбрать вихревые линии и линии тока.

Как известно, безвихревое течение характеризуется тем, что существует (быть может, многозначный) потенциал поля скоростей такой, что

(Некоторые авторы по аналогии с потенциалом сил определяют потенциал скоростей соотношением Однако это менее удобно, и в современной литературе последнее определение, как правило, не употребляется.) Соотношение (18.2) позволяет проинтегрировать уравнение (18.1), и мы получаем, таким образом, теорему Бернулли для безвихревого течения:

В случае установившегося движения уравнение (18.3) принимает более простой вид:

Большое значение уравнений (18.3) и (18.4) определяется тем, что эти уравнения представляют собой полные интегралы уравнений движения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление