Главная > Математика > Математика и ее история
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 13. Механика

13.85. Механика до исчисления

Неоднозначный заголовок отражает двойственную цель этого раздела: дать краткий обзор механики, которая возникла до исчисления, и ввести тезис, что механика психологически, если не логически, была необходимой предпосылкой для самого исчисления. Остальная часть главы развертывается вокруг этого тезиса, демонстрируя, как в ходе изучения задач механики возникли несколько важных областей в исчислении (и за его пределами). Недостаток места, не говоря уже о недостатке специальных знаний, не дает мне вторгнуться слишком далеко в историю понятий механики, поэтому я предположу некоторое понимание времени, скорости, ускорения, силы и тому подобного, и сосредоточусь на математике, которая возникла из отражения этих понятий. Эти математические направления будут прослежены до девятнадцатого века. Больше подробностей можно найти у Дюга (1957, 1958) и Трусделла (1954, 1960). В прошлом веке, по-видимому, скорее математика была движущей силой механики, чем наоборот. Выдающиеся понятия механики двадцатого века, относительность и квантовая механика, были бы немыслимы без достижений девятнадцатого века в чистой математике, некоторые из которых мы обсудим позже.

Как указывалось в разделе 4.5, в античности единственный существенный вклад в механику сделал Архимед, введя основы статики (равновесие рычага требует равенства моментов с обеих сторон) и гидростатики (тело, погруженное в жидкость, испытывает подъемную силу, равную весу смещенной жидкости). Известные результаты Архимеда о площадях и объемах, по существу, были открыты, как он показал в своем Методе, с помощью гипотетического уравновешивания

тонких слоев различных фигур. Таким образом, ранние нетривиальные результаты в исчислении, если под исчислением понимать метод открытия результатов о пределах, опирались на понятия механики.

О средневековом математике Ореме также говорилось (раздел 7.1) в связи с использованием координат для того, чтобы дать геометрическое представление функций. Отношение, которое представил Орем, по существу, было скоростью как функции времени Он понял, что смещение тогда представлено площадью под кривой, и, следовательно, в случае постоянного ускорения (или «равномерно деформированной скорости», как назвал ее он), смещение равняется общему времени х скорость в средний момент (рисунок 13.1). Этот результат известен как «Мертонская теорема об ускорении» [см., например, Кладжет (1959), с. 355], потому что она берет начало в работе группы математиков Мертон-колледжа, Оксфорд, в середине 1330-х гг. Первые доказательства были арифметические и гораздо менее прозрачные, чем рисунок Орема.

Рисунок 13.1: Мертонская теорема об ускорении

Хотя в 1330-х гг. постоянное ускорение понималось теоретически, до эпохи Галилея (1564-1642) было не ясно, что действительно происходило в природе, — а именно, с падающими телами. Галилей сообщил об эквивалентном результате, что смещение тела, падающего из состояния покоя во время пропорционально в письме [Галилей (1604)]. Вначале он был не уверен, вытекало ли это из скорости, пропорциональной времени (то есть, постоянному ускорению), или пропорциональной расстоянию но позже он правильно разрешил вопрос в пользу [Галилей (1638)]. Складывая равномерно увеличивающуюся вертикальную скорость с постоянной горизонтальной скоростью, Галилей впервые вывел правильную траекторию брошенного тела: параболу.

Движение брошенных тел было весьма важным вопросом в эпоху Возрождения, и, предположительно, его часто наблюдали, тем не менее, траектории, предлагавшиеся до Галилея, совершенно противоречили здравому смыслу (см., например, рисунок 6.3). Убеждение, шедшее от Аристотеля, что движение можно поддерживать лишь постоянным применением силы, привело математиков к игнорированию очевидного и рисованию траекторий, где горизонтальная скорость уменьшалась до нуля. Галилей опроверг это заблуждение, утвердив принцип инерции: тело, которое не подвергается воздействию внешних сил, движется с постоянной скоростью.

Принцип инерции был отправной точкой в механике Ньютона;

действительно, его часто называют первым законом Ньютона. Это частный случай его второго закона, что сила пропорциональна массе х ускорение [Ньютон (1687), с. 13]. По этому закону движение тела определяется сложением сил, действующих на него. Правильный закон сложения сил, что силы складываются векторно, был открыт в случае перпендикулярных сил Стевиным (1586) и в общем случае Робервалем [опубликован Мерсенном (1636)]. Движение, поэтому, определяется сложением векторов соответствующих ускорений, метод, который использовал Галилей в случае брошенного тела.

Определение скорости и смещения на основе ускорения — это, конечно, задачи интегрирования, поэтому механика внесла в исчисление естественный класс задач, как раз в то время, когда возникал предмет. Но правда заключалась не только в этом. Первые исследователи, практикующие исчисление, считали, что непрерывность была непременным существенным признаком функций, и единственный способ, которым они могли определять непрерывность, было обращение, в конечном счете, к зависимости скорости или смещения от времени. С этой точки зрения, все задачи интегрирования и дифференцирования были задачами механики, и Ньютон описал их как таковые, когда объяснял, как можно применять его исчисление бесконечного ряда:

Теперь остается, в качестве объяснения этого аналитического искусства, представить несколько типичных задач, и, в основном, будут представлены такие, как природа кривых. Но, прежде всего, я бы отметил, что трудности этого рода можно свести лишь к двум задачам, которые, быть может, позволят мне предложить в отношении пространства, пересеваемого любым локальным движением, каким бы ускоренным или замедленным оно ни было:

1. При заданной непрерывно длине пространства (то есть, в каждый момент времени), найти скорость движения в любое предложенное время.

2. При заданной непрерывно скорости движения, найти длину пространства, описанного в любое предложенное время.

[Ньютон (1671), с. 71]

Конечно, теперь мы знаем, что первая задача требует для своего решения скорее дифференцируемости, чем непрерывности, но пионеры

исчисления думали, что непрерывность влекла за собой дифференцируемость, и, следовательно, не признавали ее в качестве отдельного понятия. Действительно, именно исследование вопроса механики, задачи о колеблющейся струне, обнаружило это различие.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление