Главная > Математика > Математика и ее история
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.6. Определение расстояния

Численная интерпретация иррациональных чисел задает каждой длине численную меру и, следовательно, делает возможным задание координат х,у каждой точке на плоскости. Простейший способ — взять пару перпендикулярных линий (осей) и допустить, что х,у являются длинами перпендикуляров от до и соответственно (рисунок 1.10). Геометрические свойства отражаются тогда арифметическими соотношениями между Это открывает возможность аналитической геометрии, развитие которой обсуждается в главе 7. Здесь мы хотим лишь посмотреть, как координаты задают точное значение основному геометрическому понятию расстояния.

Рисунок 1.10: Перпендикулярные оси

Мы уже говорили, что перпендикулярные расстояния от до осей — это числа х,у. Расстояние между точками на одном и том же перпендикуляре к оси следует, поэтому, определять как разность между соответствующими координатами. На рисунке 1.11 это для и для Но в таком случае теорема Пифагора говорит нам, что расстояние задано

То есть

Поскольку это построение применяется к произвольным точкам в плоскости, мы теперь имеем общую формулу для расстояния между двумя точками.

Рисунок 1.11: Определение расстояния

Мы вывели эту формулу так следствие геометрических допущений, в частности, теоремы Пифагора. Хотя это делает геометрию поддающейся арифметическому вычислению, — несомненно, очень полезная ситуация, — это не говорит о том, что геометрия является арифметической. На заре аналитической геометрии последняя была весьма еретической точкой зрения (см. раздел 7.6). В конечном счете, однако, Гильберт (1899) осознал, что принятие (1) в качестве определения расстояния могло стать фактом. Конечно, все другие геометрические понятия следует тоже определить на основе чисел, но это сводится к определению точки, которая есть просто упорядоченная пара (х,у)

чисел. Уравнение (1), в таком случае, задает расстояние между точками и

Когда геометрия перестраивается тагам образом, все геометрические факты становятся фактами касательно чисел (хотя их не обязательно будет легче увидеть). Теорема Пифагора становится истинной по определению, поскольку она встроена в определение расстояния. Это не должно говорить о том, что теорема Пифагора, в конечном счете, тривиальна. Скорее, это показывает, что теорема Пифагора является именно тем, что необходимо, чтобы интерпретировать арифметические факты как геометрию.

Я упоминаю эти более поздние разработки лишь для того, чтобы дополнить теорему Пифагора в соответствии с новыми данными и дать точное изложение ее влияния на трансформацию арифметики в геометрию. Во времена античной Греции геометрия основывалась гораздо больше на видении, нежели на вычислении. В следующей главе мы увидим, как грекам удалось построить геометрию на основе визуально очевидных фактов.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление