Главная > Математика > Математика и ее история
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10.66. Дробно-степенные ряды

Введение степенных рядов помогло математикам осознать понятие функции (см. также раздел 13.4), обратя внимание на общность выражения а Однако, не каждая функция выразима как степенной ряд Это очевидно в случае функций, которые стремятся к бесконечности, по мере того, как поскольку степенной ряд имеет значение когда Что касается других функций, таких как поведение в запрещает разложение в степенной ряд по более тонкой причине. Эти функции имеют в ветвящееся поведение; они многозначны и, следовательно, они не являются функциями в строгом смысле. Например, функция двузначна, потому что каждое число имеет два квадратных корня, каждый с противоположным знаком.

Такое поведение не отражается в степенном ряде которому может быть присвоено только одно значение для каждого значения Все дробные степени многозначны: трехзначно, четырехзначно и и многозначное поведение типично для алгебраических функций вообще. Мы говорим, что у есть алгебраическая функция х, если удовлетворяют полиномиальному уравнению р(х,у) Из-за невозможности решения большинства полиномиальных уравнений в радикалах (раздел 6.7) следует, что алгебраические функции обычно невыразимы в радикалах, то есть конечными выражениями, построенными из и дробных степеней.

Тем не менее, замечательное открытие Ньютона (1671) заключалось в том, что любую алгебраическую функцию можно выразить как дробно-степенной ряд в х:

где рациональные числа. Более того, ряд может быть

переписан в виде

то есть, как конечная сумма обыкновенного степенного ряда с дробными степенями х в качестве множителей. Это означает, что в окрестности поведение у похоже на поведение конечной суммы дробных степеней.

Например, если мы имеем

и вблизи начала координат у имеет поведение, аналогичное в частности, имеется два значения у для каждого Вклад Ньютона — это остроумный алгоритм для последовательных степеней Надлежащего понимания самих дробных степеней не было, пока не приняли, что у и у — это комплексные числа. Это было сделано в девятнадцатом веке, и на этой основе более строгое выведение ряда Ньютона было дано Пиюзе (1850). По этой причине, дробно-степенные разложения алгебраических функций называются разложениями Пиюзе.

Упражнение

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление