Главная > Математика > Математика и ее история
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10.63. Степенные ряды

Индийский ряд для был первым примером, кроме геометрического ряда, такого как степенного ряда, то есть, разложения функции по степеням Идея степенного ряда оказалась плодотворной не только в представлении функций, но даже в изучении числовых рядов. Большинство интересных числовых рядов оказалось примерами степенного ряда для конкретных значений например, ряд для пример ряда для

Теория степенных рядов началась с публикации ряда

Меркатором (1668). Как мы видели, он был получен интегрированием геометрического ряда

почленно. Теперь большинство важных трансцендентных функций — логарифмические, показательные, а также зависимые тригонометрические и гиперболические функции, получают интегрированием и обращением из алгебраических функций, и довольно простых алгебраических функций, притом. Например, обратная функция и

— обратная функция и

и т. д. Таким образом, ключ к нахождению степенного ряда — нахождение разложений в ряд простых алгебраических функций. Как только это сделано, почленное интегрирование и метод обращения ряда Ньютона (раздел 9.5) дают степенной ряд для всех общих функций.

Рациональные функции, такие как можно разложить, используя геометрический ряд; решающий шаг был сделан Ньютоном (1665а), когда он открыл общую биномиальную теорему

дающую разложение функций, тагах как Эта теорема была также независимо открыта Грегори (1670). И Ньютона, и Грегори вдохновил нестрогий эвристический метод интерполяции, использованный Валлисом (1655а), но они усовершенствовали его до результата, известного ныне как формула интерполяции Грегори-Ньютона:

где

Эта замечательная формула определяет значение в произвольной точке а из значений в бесконечной арифметической последовательности точек а, а Первые членов дают многочлен степени в принимая те же значения, что Следовательно, формула, справедливая для любой та, которая является пределом своих аппроксимирующих многочленов. Это подразумевает все функции, пред ставимые степенным рядом, при условии, что точки а, а выбраны разумно (точки плохой выбор для поскольку ось это полиномиальная кривая, проходящая через все из них).

Ньютон открыл формулу (1) после своих специальных исследований по интерполяции, которые привели его к биномиальной теореме. Грегори открыл общую формулу первым и затем использовал ее, чтобы вывести биномиальную теорему (см. упражнения ниже), все независимо от Ньютона. Представляется даже, что Грегори использовал теорему об интерполяции, чтобы открыть теорему Тейлора за 44 года до Брука Тейлора. Есть весомое доказательство, что Грегори использовал ряд Тейлора для других результатов [Грегори (1671)], а ряд Тейлора

есть просто предельный случай (1) по мере того, как Несомненно, именно так он был выведен Тейлором (1715). Переход от (1) и (2) прост, если допустить правдоподобное предельное поведение для бесконечной суммы. Заметьте, что

и аналогично,

и т. д. Мы записываем (1) как

и замечаем, что член по мере того, так Допустая, что предел бесконечной суммы — это сумма этих пределов, мы тогда получаем ряд Тейлора (2) так предел (1) по мере того, как

Упражнения

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление