Главная > Математика > Математика и ее история
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9.58. Arithmetica Infinitorum Валлиса

Усилия Валлиса арифметизировать геометрию отмечались в разделе 7.6. В своей Arithmetica Infinitorum (Арифметике бесконечного [Валлис (1655а)] он предпринял аналогичную попытку арифметизировать теорию площадей и объемов кривых фигур. Некоторые из его результатов, понятно, были эквивалентны уже известным результатам. Например, он дал доказательство того, что

для положительных целых чисел показав, что

Однако он создал новый подход к дробным степеням, скорее непосредственно найдя чем рассматривая кривую как сделал Ферма. Он первым нашел рассмотрев площади, дополнительные к площадям под (рисунок 9.2),

затем угадал результаты для других дробный степеней по аналогии с уже полученными.

Рисунок 9.2: Площади, использованные Валлисом

Как другие первые создатели исчисления, Валлис двойственно относился к величинам, которые стремились к нулю, трактуя их как ненулевые в один момент и нулевые в следующий. За это он получил ужасную отповедь от своего заклятого врага Томаса Гоббса: «Ваша презренная книга Arithmetica infinitorum; где Вашим неделимым нечего делать, без того, чтобы не считалось, что они имеют величину, иными словами, делимы» [Гоббс (1656), с.301]. Не говоря уже об этой ошибке, которая легко исправляется предельными аргументами, рассуждение Валлиса крайне неполное по сегодняшним стандартам. Например, наблюдая модель в формулах для он сразу же заявит формулу для всех положительных целых чисел «с помощью индукции» и для дробных «с помощью интерполяции». Его смелость достигла новых высот к концу Arithmetica infinitorum, когда он выводит свою известную формулу о бесконечном произведении

Описание его рассуждения можно найти у Эдуардса (1979), где оно охарактеризовано как «одно из самых дерзких исследований об аналогии и интуиции, которые когда-либо давали правильный результат».

Однако мы должны иметь в виду, что Валлис предлагал, прежде всего, метод открытия, и какое открытие он сделал! Его бесконечное произведение для не было первым, когда-либо данным, поскольку Виет (1953) открыл

Однако формула Виета основывается на умном, но простом трюке (см. упражнения), в то время как формула Валлиса имеет более глубокое значение. Связав с целыми числами через последовательность рациональных операций, Валлис обнаружил последовательность дробей (полученную завершением произведения на множителе), которую

он назвал «гипергеометрической». Позже было установлено, что аналогичные последовательности встречаются как коэффициенты в разложениях в ряд многих функций, что привело к широкому классу функций, названных Гауссом «гипергеометрическими». Кроме того, произведение Валлиса была тесно связано с двумя другими прекрасными формулами для основанными на последовательностях рациональных операций:

и

Непрерывная дробь была получена Браункером из произведения Валлиса, а также опубликована Валлисом (1655b). Ряд — это частный случай ряда

открытого индийскими математиками в пятнадцатом веке (см. раздел 10.1) и позже заново открытого Ньютоном, Грегори и Лейбницем. Эйлер (1748а), с. 711, дал прямое преобразование ряда для в непрерывную дробь Браункера. В дополнение к выделению этой эффектной цепной реакции, метод «интерполяции» Валлиса имел важные последствия в работе Ньютона, который использовал его при открытии общей биномиальной теоремы (раздел 10.2).

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление