Главная > Математика > Математика и ее история
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8.53. Теорема Паскаля

Эссе о кониках Паскаля [Паскаль (1640)] написано в конце 1639 года, когда Паскалю было 16 лет. Он, вероятно, слышал о проективной геометрии от своего отца, который был другом Дезарга. Эссе содержало первую формулировку известного результата, который получил известность как теорема Паскаля или мистическая гексаграмма. Теорема утверждает, что пары противоположных сторон шестиугольника, вписанных в коническое сечение, пересекаются в трех коллинеарных точках. (Вершины шестиугольника могут встретиться в любом порядке на кривой. На рисунке 8.19 порядок выбран, чтобы дать возможность трем пересечениям лежать внутри кривой.) Доказательство Паскаля неизвестно, но он, вероятно, установил сначала теорему для круга, затем тривиально распространил ее на произвольные конические сечения по проекции.

Рисунок 8.19: Теорема Паскаля

Плюкер (1847) представил теорему Паскаля в новом свете, показав, что она является естественным следствием теоремы Безу. Плюкер

использовал дополнительную теорему о кубических кривых, которую можно обойти, дав следующий непосредственный вывод из теоремы Безу.

Пусть последовательные стороны шестиугольника. Объединения противолежащих сторон можно считать кубическими кривыми

где каждая I — произведение трех линейных множителей. Эти две кривые пересекаются в девяти точках: шести вершинах шестиугольника и трех пересечениях противоположных сторон. Пусть

уравнение коники, которая содержит шесть вершин.

Мы можем выбрать постоянные , так что кубическая кривая

проходит через любую заданную точку Пусть точка на конике, неравной шести вершинам. Тогда кривые (1), (2) 2-й, 3-й степени имеют общих точек, и, следовательно, общую составляющую по теореме Безу. Поскольку с не имеет непостоянного множителя, по предположению, этой общей составляющей должна быть сама с. Следовательно,

для некоторого многочлена который должен быть линейным, поскольку левая часть (3) имеет 3-ю степень, и с имеет 2-ю степень. Поскольку кривая проходит через девять общих точек до тогда как проходит только через шесть из них, оставшиеся три (пересечения противоположных сторон) должны быть на линии

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление