Главная > Математика > Математика и ее история
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8.50. Проективный вид кривых

Проблемы рисования перспективы включали, главным образом, геометрию прямых линий. Правда, были задачи, такие как рисование эллипсов, которые должны выглядеть как перспективные виды кругов, но художники обычно довольствовались тем, что решали такие задачи, интерполируя гладко выглядящие кривые в подходящее обрамление прямых линий. Пример такого рисунка — чаша Учелло (1397-1475) на рисунке 8.12.

Рисунок 8.12: Рисунок чаши Учелло. (Уффици, Флоренция)

Математическая теория перспективы кривых стала возможной с пришествием аналитической геометрии. Когда кривая определяется уравнением уравнение любого перспективного вида получается с помощью соответствующего преобразования х и у. Однако, эта трансформационная точка зрения, даже если она довольно проста алгебраически, появилась только у Мёбиуса (1827). Первые работы по проективной геометрии, Дезарга (1639) и Паскаля (1640), использовали язык классической геометрии, хотя язык уравнений был доступен от Декарта (1637). Это было понятно, не только потому, что аналитический метод у Декарта был столь неясен, но также потому, что преимущества проективного метода можно было яснее увидеть, когда он использовался в классическом окружении. Дезарг и Паскаль придерживались прямых линий и конических сечений, показывая как проективная геометрия могла легко достигнуть и превзойти результаты, полученные греками. Более того, проективная точка зрения давала что-то

еще, что, наверное, было непонятно грекам: ясное описание поведения кривых в бесконечности.

Например, Дезарг (1639) [см. Тейтон (1951), с. 137] различал эллипс, параболу и гиперболу по количеству их точек в бесконечности: 0, 1 и 2, соответственно. Точки в бесконечности на параболе и гиперболе можно увидеть совсем просто, наклонив их обычные виды в перспективные виды (рисунки 8.13 и 8.14). Парабола имеет только одну точку в бесконечности, потому что она пересекает каждый луч через 0, за исключением у-оси. как раз в одной конечной точке. Что касается гиперболы, ее две точки в бесконечности находятся там, где она касается своих асимптот, как видно на рисунке 8.14. Продолжение гиперболы выше горизонта вытекает из проектирования нижней ветви через тот же самый центр проекции (рисунок 8.15). Рисунок 8.13: Парабола

Рисунок 8.14: Гипербола

Рисунок 8.15: Ветви гиперболы

Проективная геометрия выходит за рамки описания поведения кривых в бесконечности. Линия в бесконечности не отличается от любой другой линии и может быть лишена своего особого статуса. Тогда все проективные виды кривой одинаково верны, и можно сказать, например, что все конические сечения — это эллипсы, если их соответственно рассматривать. Это не удивительно, если помнить о конических сечениях не как о кривых второй степени, а как о сечениях конуса. Конечно, все они выглядят одинаково с вершины конуса.

Более удивительно, что также имеет место значительное упрощение кубических кривых, когда они рассматриваются проективно. Как упоминалось в разделе 7.4, Ньютон (1695) разделил кубические кривые на 72 типа (и упустил из виду 6). Однако, в разделе 29 «О происхождении кривых при помощи теней» Ньютон утверждал, что всякую кубическую кривую можно спроектировать на один из именно пяти типов. Как говорилось в разделе 7.4, это включает результат, что можно спроектировать на Доказательство этого — простое вычисление, когда вводятся координаты (см. упражнение 8.5.3), но мы уже получили осторожный намек на это из перспективного вида (См. рисунок 8.16. Нижняя половина точки возврата — это вид ниже горизонта; верхняя половина выходит из проектирования вида позади головы наблюдателя через на плоскость изображения впереди.)

Рисунок 8.16: Перспективный вид кубической кривой Обратно, имеет перегиб в бесконечности. Проективная

классификация Ньютона вытекает из изучения поведения в бесконечности всех кубических кривых и наблюдения, что каждая имеет характеристики, которыми уже обладали, необязательно в бесконечности, кривые вида

Ньютон уже разделил их на пять типов в своей аналитической классификации (это те пять, которые показаны на рисунке 7.3). Результат Ньютона был улучшен лишь в девятнадцатом веке, когда проективная классификация по комплексным числам уменьшила количество типов кубических кривых только до трех. Мы обсудим это позже в связи с развитием комплексных чисел (раздел 15.5).

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление