Главная > Математика > Математика и ее история
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.35. Квадратные иррациональные числа

Корни квадратных уравнений с рациональными коэффициентами — это числа вида а где рациональны. Евклид принял теорию иррациональных чисел далее в Книге X Начал с очень подробным изучением чисел вида где рациональны. Книга X — самая длинная книга в Началах, и не ясно, почему Евклид посвятил столь много места этой теме: возможно, потому, что кое-что в ней необходимо для изучения правильных многогранников в Книге XIII (см. раздел 2.2 и упражнение 6.3.6), возможно, просто потому, что она была любимой темой Евклида, или, возможно, это была тема, в которую он внес оригинальные вклады, которыми следует похвалиться. Говорят, что далее теорию иррациональных чисел принял Аполлоний, но, к сожалению, его труд об этом предмете утерян.

После этого, по-видимому, в теории иррациональных чисел прогресса не было до Возрождения, за исключением замечательного отдельного результата Фибоначчи (1225). Фибоначчи показал, что корнями не является ни одно из евклидовых иррациональных чисел. Это не доказательство, как полагали некоторые историки, что корни нельзя построить с помощью линейки и циркуля. Фибоначчи не исключил все выражения, построенные из рациональных чисел и квадратных корней; тем не менее, это был первый шаг в мир иррациональных чисел после Евклида.

В этот момент стоит задать вопрос, как трудно показать, что конкретное число, скажем, не может быть построено из рациональных чисел квадратными корнями. Ответ будет зависеть от того, насколько хорошо читатель справится со следующими упражнениями. Необходимая операция, конечно, не выйдет за рамки алгебры шестнадцатого века. Тонкая часть — это отыскание соответствующей классификации выражений согласно сложности (распространение классификации Евклида на выражения, в которых знаки радикала вложены до произвольной глубины) и использование индукции на уровне сложности. Этот тип мышления возник в 1820-х гг., и отсюда, относительно позднее доказательство, что построение с помощью линейки и циркуля невозможно [Вантцель (1837)].

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление